Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Бетон, k = 1,450 mmЦегла, k = 0,7225 mm21 °C-5 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 50 mm шару (бетон) і 25 mm шару (цегла), її площа 10 m². Зовнішні поверхні мають 21 °C і -5 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 50 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 21 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Деревина, k = 0,1750 mmСкло, k = 0,96150 mmприміщення 21 °Cнадворі -10 °CQ̇

Стіна з 50 mm (деревина) і 150 mm (скло) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -10 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT105 °C80 °C70 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Кожухотрубний теплообмінник (один хід у міжтрубному просторі, два ходи в трубах) має передавати 610 kW. Гарячий теплоносій охолоджується від 105 до 80 °C, а холодний нагрівається від 20 до 70 °C. Поправковий коефіцієнт до LMTD для цієї схеми F = 0,92, а U = 200 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 610 kWF = 0,92U = 200 W/(m²·K)Th: 105 → 80 °CTc: 20 → 70 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT165 °C110 °C43,82 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 165 до 110 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 3 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 30 °C. При U = 300 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 165 → 110 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 7,817 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(1,4·10) = 0,003571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,72·10) = 0,003472 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,007044 = 3691 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 3691·0,003571 = 7,817 °C

Відповідь

Ti = 7,817 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 1,612 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·8) = 0,01953 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,07753 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,07753) = 1,612 W/(m²·K)

Відповідь

U = 1,612 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 71,48 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях (протитечія)

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 70 = 35 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 20 = 60 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (35 − 60)/ln(35/60) = 46,38 K

Площа

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 610000/(200·0,92·46,38) = 71,48 m²

Відповідь

A = 71,48 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 5,823 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·55 = 173,3 kW
Tc,out = 30 + 173,3/(3·4,18) = 43,82 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 165 − 43,82 = 121,2 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 30 = 80 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (121,2 − 80)/ln(121,2/80) = 99,17 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 173250/(300·99,17) = 5,823 m²

Відповідь

A = 5,823 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer