Теплопровідність
- Закон Фур’є
- Q̇ = kAΔT/L
- Термічний опір теплопровідності
- R = L/(kA)
- Термічний опір тепловіддачі
- R = 1/(hA)
- Послідовні опори
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коефіцієнт теплопередачі U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Теплообмінники (LMTD)
- Теплове навантаження
- Q = U·A·ΔTlm
- Середньологарифмічний температурний напір
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоків
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Задачі для практики
1.ТеплопровідністьСередня
Стіна складається з 200 mm шару (гіпсокартон) і 25 mm шару (скло), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 20 °C і 10 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 20 °CT3 = 10 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Стіна з 250 mm (мінеральна вата) і 75 mm (цегла) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -10 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 4 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -10 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
У конденсаторі пара конденсується за сталої температури 110 °C на зовнішній поверхні труб. Охолоджувальна вода (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) тече трубами й нагрівається від 25 до 55 °C. Коефіцієнт теплопередачі 3000 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.
Ts = 110 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 25 → 55 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
Пара конденсується за сталої температури 140 °C на зовнішній поверхні труб конденсатора з площею теплообміну 2 m² і U = 1500 W/(m²·K). Охолоджувальна вода (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входить у труби при 20 °C. Знайдіть температуру води на виході Tc,out.
Ts = 140 °CA = 2 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C
3Розчини
1.Теплопровідність
Відповідь: Ti = 10,22 °C
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·12) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·12) = 0,00217 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,1002 = 99,79 W
Температура на межі
На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 99,79·0,09804 = 10,22 °C
Відповідь
Ti = 10,22 °C
2.Теплопровідність
Відповідь: U = 0,1537 W/(m²·K)
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·4) = 1,563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·4) = 0,02604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 1,626 K/W
Коефіцієнт теплопередачі
U = 1/(A·ΣR) = 1/(4·1,626) = 0,1537 W/(m²·K)
Відповідь
U = 0,1537 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 0,3033 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Теплове навантаження з боку води
Q̇ = 0,5·4,18·(55 − 25) = 62,7 kW
Різниці температур на кінцях
ΔT₁ = 110 − 25 = 85 K
ΔT₂ = 110 − 55 = 55 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85 − 55)/ln(85/55) = 68,92 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 62700/(3000·68,92) = 0,3033 m²
Відповідь
A = 0,3033 m²
4.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: Tc,out = 65,63 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Поєднайте енергетичний баланс і рівняння теплопередачі
Якщо ΔT₁ = Ts − Tc,in і ΔT₂ = Ts − Tc,out, різниця ΔT₁ − ΔT₂ дорівнює підвищенню температури води, тож воно скорочується.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·2/(1,5·4180) = 0,4785
Температура на виході
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,4785 = 120·0,6197 = 74,37 K
Tc,out = 140 − 74,37 = 65,63 °C
Відповідь
Tc,out = 65,63 °C
Передана теплота: Q̇ = 286,1 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer