Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Пінополістирол, k = 0,035100 mmБетон, k = 1,475 mm24 °C1 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (пінополістирол) і 75 mm шару (бетон), її площа 8 m². Зовнішні поверхні мають 24 °C і 1 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 24 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Пінополістирол, k = 0,035250 mmЦегла, k = 0,72150 mmприміщення 20 °Cнадворі -3 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 250 mm (пінополістирол) і 150 mm (цегла) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -3 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 6 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT115 °C80 °C60 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Кожухотрубний теплообмінник (один хід у міжтрубному просторі, два ходи в трубах) має передавати 340 kW. Гарячий теплоносій охолоджується від 115 до 80 °C, а холодний нагрівається від 15 до 60 °C. Поправковий коефіцієнт до LMTD для цієї схеми F = 0,8, а U = 800 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 340 kWF = 0,8U = 800 W/(m²·K)Th: 115 → 80 °CTc: 15 → 60 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT125 °C75 °C75,02 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охолоджується з 125 до 75 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 0,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 20 °C. При U = 800 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 125 → 75 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 1,423 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·8) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·8) = 0,006696 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 23/0,3638 = 63,21 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 63,21·0,3571 = 1,423 °C

Відповідь

Ti = 1,423 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 19,69 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·6) = 1,19 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,72·6) = 0,03472 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 1,247 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (-3))/1,247 = 18,44 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 18,44·0,01667 = 19,69 °C

Відповідь

Ts = 19,69 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 8,875 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях (протитечія)

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 60 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 15 = 65 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 65)/ln(55/65) = 59,86 K

Площа

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 340000/(800·0,8·59,86) = 8,875 m²

Відповідь

A = 8,875 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,741 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·50 = 115 kW
Tc,out = 20 + 115/(0,5·4,18) = 75,02 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 75,02 = 49,98 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 20 = 55 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (49,98 − 55)/ln(49,98/55) = 52,45 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 115000/(800·52,45) = 2,741 m²

Відповідь

A = 2,741 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer