Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Бетон, k = 1,4100 mmЦегла, k = 0,7250 mm20 °C-12 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (бетон) і 50 mm шару (цегла), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 20 °C і -12 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 20 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Цегла, k = 0,72250 mmГіпсокартон, k = 0,1750 mmприміщення 21 °Cнадворі -9 °CQ̇ = ?

Стіна з 250 mm (цегла) і 50 mm (гіпсокартон) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -9 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 250 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -9 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT150 °C90 °C120 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Кожухотрубний теплообмінник (один хід у міжтрубному просторі, два ходи в трубах) має передавати 60 kW. Гарячий теплоносій охолоджується від 150 до 90 °C, а холодний нагрівається від 20 до 120 °C. Поправковий коефіцієнт до LMTD для цієї схеми F = 0,92, а U = 300 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 60 kWF = 0,92U = 300 W/(m²·K)Th: 150 → 90 °CTc: 20 → 120 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT130 °C70 °C117,7 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 130 до 70 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 0,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 800 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 130 → 70 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 3,775 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·12) = 0,005952 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·12) = 0,005787 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 32/0,01174 = 2726 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 2726·0,005952 = 3,775 °C

Відповідь

Ti = 3,775 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 307,2 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,72·8) = 0,0434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,09767 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (-9))/0,09767 = 307,2 W

Відповідь

Q̇ = 307,2 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 4,605 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях (протитечія)

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 120 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 20 = 70 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 70)/ln(30/70) = 47,21 K

Площа

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 60000/(300·0,92·47,21) = 4,605 m²

Відповідь

A = 4,605 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 9,331 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·60 = 225 kW
Tc,out = 10 + 225/(0,5·4,18) = 117,7 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 117,7 = 12,34 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 10 = 60 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (12,34 − 60)/ln(12,34/60) = 30,14 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 225000/(800·30,14) = 9,331 m²

Відповідь

A = 9,331 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer