Теплопровідність
- Закон Фур’є
- Q̇ = kAΔT/L
- Термічний опір теплопровідності
- R = L/(kA)
- Термічний опір тепловіддачі
- R = 1/(hA)
- Послідовні опори
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коефіцієнт теплопередачі U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Теплообмінники (LMTD)
- Теплове навантаження
- Q = U·A·ΔTlm
- Середньологарифмічний температурний напір
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоків
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Задачі для практики
1.ТеплопровідністьСередня
Стіна складається з 250 mm шару (мінеральна вата) і 150 mm шару (скло), її площа 4 m². Зовнішні поверхні мають 25 °C і -15 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.
L1 = 250 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 25 °CT3 = -15 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Стіна з 100 mm (цегла) і 150 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -9 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 6 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.
L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -9 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
У конденсаторі пара конденсується за сталої температури 130 °C на зовнішній поверхні труб. Охолоджувальна вода (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) тече трубами й нагрівається від 10 до 65 °C. Коефіцієнт теплопередачі 2000 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.
Ts = 130 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 10 → 65 °CU = 2000 W/(m²·K)
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
У протитечійному теплообміннику обидва потоки мають однакову повну теплоємність ṁ·cp = 3 kW/K. Гарячий потік входить при 90 °C, а холодний при 25 °C. Теплообмінник має A = 5 m² і U = 300 W/(m²·K). Знайдіть температуру гарячого потоку на виході Th,out.
Ch = Cc = 3 kW/KTh,in = 90 °CTc,in = 25 °CA = 5 m²U = 300 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Розчини
1.Теплопровідність
Відповідь: Ti = −14,02 °C
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,04·4) = 1,563 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·4) = 0,03906 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 40/1,602 = 24,98 W
Температура на межі
На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 24,98·1,563 = −14,02 °C
Відповідь
Ti = −14,02 °C
2.Теплопровідність
Відповідь: Q̇ = 38,18 W
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·6) = 0,02315 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·6) = 0,7143 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,7597 K/W
Тепловтрати
Q̇ = (20 − (-9))/0,7597 = 38,18 W
Відповідь
Q̇ = 38,18 W
3.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 6,407 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Теплове навантаження з боку води
Q̇ = 5·4,18·(65 − 10) = 1150 kW
Різниці температур на кінцях
ΔT₁ = 130 − 10 = 120 K
ΔT₂ = 130 − 65 = 65 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (120 − 65)/ln(120/65) = 89,71 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 1,149 × 10⁶/(2000·89,71) = 6,407 m²
Відповідь
A = 6,407 m²
4.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: Th,out = 68,33 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Стала різниця температур
Вихід холодного потоку розташований навпроти входу гарячого: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), тож ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Енергетичний баланс дорівнює рівнянню теплопередачі
3·(90 − Th,out) = 1,5·(Th,out − 25)
Th,out = (3·90 + 1,5·25)/(3 + 1,5) = 68,33 °C
Відповідь
Th,out = 68,33 °C
Передана теплота: Q̇ = 65 kW; холодний потік виходить при 46,67 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer