Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Бетон, k = 1,4150 mmГіпсокартон, k = 0,1750 mm17 °C-9 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 150 mm шару (бетон) і 50 mm шару (гіпсокартон), її площа 8 m². Зовнішні поверхні мають 17 °C і -9 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 17 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Пінополістирол, k = 0,035100 mmМінеральна вата, k = 0,0425 mmприміщення 20 °Cнадворі -3 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 100 mm (пінополістирол) і 25 mm (мінеральна вата) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -3 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT175 °C110 °C30 °C45 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 100 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 175 до 110 °C, а холодний нагрівається з 30 до 45 °C. Коефіцієнт теплопередачі 200 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 100 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 175 → 110 °CTc: 30 → 45 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT105 °C75 °C41 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охолоджується з 105 до 75 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 30 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 105 → 75 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 10,06 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·8) = 0,01339 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,05016 = 518,4 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 518,4·0,01339 = 10,06 °C

Відповідь

Ti = 10,06 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 18,96 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·15) = 0,01111 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·15) = 0,1905 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·15) = 0,04167 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,2459 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (-3))/0,2459 = 93,53 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 93,53·0,01111 = 18,96 °C

Відповідь

Ts = 18,96 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 5,015 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 175 − 30 = 145 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 110 − 45 = 65 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (145 − 65)/ln(145/65) = 99,71 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 100000/(200·99,71) = 5,015 m²

Відповідь

A = 5,015 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 6,396 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·30 = 69 kW
Tc,out = 30 + 69/(1,5·4,18) = 41 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 105 − 41 = 64 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 30 = 45 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (64 − 45)/ln(64/45) = 53,94 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 69000/(200·53,94) = 6,396 m²

Відповідь

A = 6,396 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer