Теплопровідність
- Закон Фур’є
- Q̇ = kAΔT/L
- Термічний опір теплопровідності
- R = L/(kA)
- Термічний опір тепловіддачі
- R = 1/(hA)
- Послідовні опори
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коефіцієнт теплопередачі U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Теплообмінники (LMTD)
- Теплове навантаження
- Q = U·A·ΔTlm
- Середньологарифмічний температурний напір
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоків
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Задачі для практики
1.ТеплопровідністьСередня
Стіна складається з 100 mm шару (скло) і 100 mm шару (деревина), її площа 20 m². Зовнішні поверхні мають 24 °C і -9 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.
L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 24 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Стіна з 150 mm (пінополістирол) і 75 mm (скло) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -7 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 10 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.
L1 = 150 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -7 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
У конденсаторі пара конденсується за сталої температури 105 °C на зовнішній поверхні труб. Охолоджувальна вода (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) тече трубами й нагрівається від 15 до 65 °C. Коефіцієнт теплопередачі 2500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.
Ts = 105 °Cṁ = 0,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 65 °CU = 2500 W/(m²·K)
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
Пара конденсується за сталої температури 110 °C на зовнішній поверхні труб конденсатора з площею теплообміну 5 m² і U = 2000 W/(m²·K). Охолоджувальна вода (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входить у труби при 15 °C. Знайдіть температуру води на виході Tc,out.
Ts = 110 °CA = 5 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °C
Tc,out = °C
3Розчини
1.Теплопровідність
Відповідь: Ti = 19,04 °C
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·20) = 0,005208 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 33/0,03462 = 953,2 W
Температура на межі
На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.
Ti = T1 − Q̇·R1 = 24 − 953,2·0,005208 = 19,04 °C
Відповідь
Ti = 19,04 °C
2.Теплопровідність
Відповідь: Q̇ = 61,83 W
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,035·10) = 0,4286 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·10) = 0,007813 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·10) = 0,004 K/W
ΣR = 0,4529 K/W
Тепловтрати
Q̇ = (21 − (-7))/0,4529 = 61,83 W
Відповідь
Q̇ = 61,83 W
3.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 0,6779 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Теплове навантаження з боку води
Q̇ = 0,5·4,18·(65 − 15) = 104,5 kW
Різниці температур на кінцях
ΔT₁ = 105 − 15 = 90 K
ΔT₂ = 105 − 65 = 40 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 40)/ln(90/40) = 61,66 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 104500/(2500·61,66) = 0,6779 m²
Відповідь
A = 0,6779 m²
4.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: Tc,out = 67,2 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Поєднайте енергетичний баланс і рівняння теплопередачі
Якщо ΔT₁ = Ts − Tc,in і ΔT₂ = Ts − Tc,out, різниця ΔT₁ − ΔT₂ дорівнює підвищенню температури води, тож воно скорочується.
ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·5/(3·4180) = 0,7974
Температура на виході
ΔT₂ = ΔT₁·e−0,7974 = 95·0,4505 = 42,8 K
Tc,out = 110 − 42,8 = 67,2 °C
Відповідь
Tc,out = 67,2 °C
Передана теплота: Q̇ = 654,6 kW.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer