Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Цегла, k = 0,72100 mmБетон, k = 1,4100 mm22 °C-9 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (цегла) і 100 mm шару (бетон), її площа 20 m². Зовнішні поверхні мають 22 °C і -9 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 22 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04200 mmГіпсокартон, k = 0,1725 mmприміщення 21 °Cнадворі -3 °CQ̇

Стіна з 200 mm (мінеральна вата) і 25 mm (гіпсокартон) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -3 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 10 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 10 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT105 °C15 °C40 °CΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

У конденсаторі пара конденсується за сталої температури 105 °C на зовнішній поверхні труб. Охолоджувальна вода (1 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) тече трубами й нагрівається від 15 до 40 °C. Коефіцієнт теплопередачі 3000 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Ts = 105 °Cṁ = 1 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 40 °CU = 3000 W/(m²·K)
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT100 °C70 °C15,02 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 100 до 70 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 100 → 70 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 1,528 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·20) = 0,006944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,01052 = 2948 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 22 − 2948·0,006944 = 1,528 °C

Відповідь

Ti = 1,528 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 0,1864 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·10) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·10) = 0,5 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·10) = 0,01471 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,5364 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(10·0,5364) = 0,1864 W/(m²·K)

Відповідь

U = 0,1864 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 0,4534 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Теплове навантаження з боку води

Q̇ = 1·4,18·(40 − 15) = 104,5 kW

Різниці температур на кінцях

ΔT₁ = 105 − 15 = 90 K
ΔT₂ = 105 − 40 = 65 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (90 − 65)/ln(90/65) = 76,82 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 104500/(3000·76,82) = 0,4534 m²

Відповідь

A = 0,4534 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,195 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·30 = 31,5 kW
Tc,out = 10 + 31,5/(1,5·4,18) = 15,02 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 15,02 = 84,98 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 10 = 60 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (84,98 − 60)/ln(84,98/60) = 71,77 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 31500/(200·71,77) = 2,195 m²

Відповідь

A = 2,195 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer