Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Деревина, k = 0,1750 mmБетон, k = 1,475 mm25 °C6 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 50 mm шару (деревина) і 75 mm шару (бетон), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 25 °C і 6 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04100 mmПінополістирол, k = 0,03575 mmприміщення 21 °Cнадворі 5 °CQ̇

Стіна з 100 mm (мінеральна вата) і 75 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при 5 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 5 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT150 °C125 °C10 °C105 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 200 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 150 до 125 °C, а холодний нагрівається з 10 до 105 °C. Коефіцієнт теплопередачі 800 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 200 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 150 → 125 °CTc: 10 → 105 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT140 °C30 °C30,18 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охолоджується з 140 до 30 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 3 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 500 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 140 → 30 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 655,8 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·12) = 0,02451 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·12) = 0,004464 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,02897 = 655,8 W

Відповідь

Q̇ = 655,8 W
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 0,2091 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·15) = 0,006667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·15) = 0,1429 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·15) = 0,002667 K/W
ΣR = 0,3189 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,3189) = 0,2091 W/(m²·K)

Відповідь

U = 0,2091 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 4,054 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 150 − 10 = 140 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 125 − 105 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (140 − 20)/ln(140/20) = 61,67 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 200000/(800·61,67) = 4,054 m²

Відповідь

A = 4,054 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 9,594 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,3·110 = 253 kW
Tc,out = 10 + 253/(3·4,18) = 30,18 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 30,18 = 109,8 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 30 − 10 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (109,8 − 20)/ln(109,8/20) = 52,74 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 253000/(500·52,74) = 9,594 m²

Відповідь

A = 9,594 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer