Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Скло, k = 0,9650 mmМінеральна вата, k = 0,0450 mm16 °C2 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 50 mm шару (скло) і 50 mm шару (мінеральна вата), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 16 °C і 2 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 16 °CT3 = 2 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,0450 mmБетон, k = 1,4100 mmприміщення 20 °Cнадворі 4 °CQ̇ = ?

Стіна з 50 mm (мінеральна вата) і 100 mm (бетон) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при 4 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 20 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 4 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT130 °C30 °C115 °CΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

У конденсаторі пара конденсується за сталої температури 130 °C на зовнішній поверхні труб. Охолоджувальна вода (2 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) тече трубами й нагрівається від 30 до 115 °C. Коефіцієнт теплопередачі 3500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Ts = 130 °Cṁ = 2 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 30 → 115 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT90 °C50 °C23,35 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 90 до 50 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 3 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 20 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 90 → 50 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 15,44 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 14/0,1085 = 129 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 129·0,00434 = 15,44 °C

Відповідь

Ti = 15,44 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 215,5 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·20) = 0,006494 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·20) = 0,0625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·20) = 0,003571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·20) = 0,001667 K/W
ΣR = 0,07423 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (4))/0,07423 = 215,5 W

Відповідь

Q̇ = 215,5 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 4,531 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Теплове навантаження з боку води

Q̇ = 2·4,18·(115 − 30) = 710,6 kW

Різниці температур на кінцях

ΔT₁ = 130 − 30 = 100 K
ΔT₂ = 130 − 115 = 15 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (100 − 15)/ln(100/15) = 44,8 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 710600/(3500·44,8) = 4,531 m²

Відповідь

A = 4,531 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 4,574 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·40 = 42 kW
Tc,out = 20 + 42/(3·4,18) = 23,35 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 23,35 = 66,65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (66,65 − 30)/ln(66,65/30) = 45,91 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 42000/(200·45,91) = 4,574 m²

Відповідь

A = 4,574 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer