Теплопровідність
- Закон Фур’є
- Q̇ = kAΔT/L
- Термічний опір теплопровідності
- R = L/(kA)
- Термічний опір тепловіддачі
- R = 1/(hA)
- Послідовні опори
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коефіцієнт теплопередачі U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Теплообмінники (LMTD)
- Теплове навантаження
- Q = U·A·ΔTlm
- Середньологарифмічний температурний напір
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоків
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Задачі для практики
1.ТеплопровідністьСередня
Стіна складається з 200 mm шару (мінеральна вата) і 100 mm шару (гіпсокартон), її площа 20 m². Зовнішні поверхні мають 21 °C і -12 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.
L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 21 °CT3 = -12 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Стіна з 200 mm (деревина) і 100 mm (гіпсокартон) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -2 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -2 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
Прямотечійний теплообмінник передає 90 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 85 до 70 °C, а холодний нагрівається з 30 до 50 °C. Коефіцієнт теплопередачі 500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.
Q̇ = 90 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 85 → 70 °CTc: 30 → 50 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 160 до 60 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 2 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 15 °C. При U = 1500 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 160 → 60 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 1500 W/(m²·K)
A = m²
3Розчини
1.Теплопровідність
Відповідь: Q̇ = 118,1 W
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·20) = 0,25 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 33/0,2794 = 118,1 W
Відповідь
Q̇ = 118,1 W
2.Теплопровідність
Відповідь: U = 0,5223 W/(m²·K)
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·8) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,17·8) = 0,07353 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,2393 K/W
Коефіцієнт теплопередачі
U = 1/(A·ΣR) = 1/(8·0,2393) = 0,5223 W/(m²·K)
Відповідь
U = 0,5223 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 5,203 m²
Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.
Різниці температур на кінцях
При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 85 − 30 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 70 − 50 = 20 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 20)/ln(55/20) = 34,6 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 90000/(500·34,6) = 5,203 m²
Відповідь
A = 5,203 m²
4.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 1,04 m²
Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.
Теплове навантаження і температура води на виході
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·100 = 125 kW
Tc,out = 15 + 125/(2·4,18) = 29,95 °C
Різниці температур на кінцях
При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 29,95 = 130 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 15 = 45 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (130 − 45)/ln(130/45) = 80,14 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 125000/(1500·80,14) = 1,04 m²
Відповідь
A = 1,04 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer