Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Цегла, k = 0,72100 mmБетон, k = 1,4100 mm17 °C2 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (цегла) і 100 mm шару (бетон), її площа 4 m². Зовнішні поверхні мають 17 °C і 2 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 17 °CT3 = 2 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Гіпсокартон, k = 0,17150 mmМінеральна вата, k = 0,0475 mmприміщення 20 °Cнадворі -12 °CQ̇ = ?

Стіна з 150 mm (гіпсокартон) і 75 mm (мінеральна вата) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -12 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 4 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -12 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT180 °C165 °C65 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 440 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 180 до 165 °C, а холодний нагрівається з 15 до 65 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 440 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 180 → 165 °CTc: 15 → 65 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT135 °C70 °C68,88 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 135 до 70 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 0,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 30 °C. При U = 300 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 135 → 70 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 7,094 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,72·4) = 0,03472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,05258 = 285,3 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 17 − 285,3·0,03472 = 7,094 °C

Відповідь

Ti = 7,094 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 43,58 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·4) = 0,03247 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·4) = 0,2206 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·4) = 0,4688 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·4) = 0,0125 K/W
ΣR = 0,7343 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (-12))/0,7343 = 43,58 W

Відповідь

Q̇ = 43,58 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,227 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 180 − 65 = 115 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 165 − 15 = 150 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (115 − 150)/ln(115/150) = 131,7 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 440000/(1500·131,7) = 2,227 m²

Відповідь

A = 2,227 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 5,211 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·65 = 81,25 kW
Tc,out = 30 + 81,25/(0,5·4,18) = 68,88 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 68,88 = 66,12 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 30 = 40 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (66,12 − 40)/ln(66,12/40) = 51,97 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 81250/(300·51,97) = 5,211 m²

Відповідь

A = 5,211 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer