Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Скло, k = 0,9650 mmМінеральна вата, k = 0,0450 mm16 °C-12 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 50 mm шару (скло) і 50 mm шару (мінеральна вата), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 16 °C і -12 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 16 °CT3 = -12 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Бетон, k = 1,4200 mmСкло, k = 0,9625 mmприміщення 21 °Cнадворі -7 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 200 mm (бетон) і 25 mm (скло) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -7 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 10 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 10 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -7 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT100 °C80 °C40 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 90 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 100 до 80 °C, а холодний нагрівається з 15 до 40 °C. Коефіцієнт теплопередачі 500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 90 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 100 → 80 °CTc: 15 → 40 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT145 °C110 °C72,8 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 145 до 110 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 0,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 1000 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 145 → 110 °Cṁc = 0,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 14,88 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·15) = 0,003472 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,04·15) = 0,08333 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 28/0,08681 = 322,6 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 16 − 322,6·0,003472 = 14,88 °C

Відповідь

Ti = 14,88 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 10,82 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·10) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·10) = 0,01429 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·10) = 0,002604 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·10) = 0,005 K/W
ΣR = 0,03439 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (-7))/0,03439 = 814,2 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 814,2·0,0125 = 10,82 °C

Відповідь

Ts = 10,82 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,882 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 40 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 15 = 65 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 65)/ln(60/65) = 62,47 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 90000/(500·62,47) = 2,882 m²

Відповідь

A = 2,882 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 1,538 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,5·35 = 131,3 kW
Tc,out = 10 + 131,3/(0,5·4,18) = 72,8 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 145 − 72,8 = 72,2 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 10 = 100 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (72,2 − 100)/ln(72,2/100) = 85,35 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 131250/(1000·85,35) = 1,538 m²

Відповідь

A = 1,538 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer