Теплопровідність
- Закон Фур’є
- Q̇ = kAΔT/L
- Термічний опір теплопровідності
- R = L/(kA)
- Термічний опір тепловіддачі
- R = 1/(hA)
- Послідовні опори
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коефіцієнт теплопередачі U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Теплообмінники (LMTD)
- Теплове навантаження
- Q = U·A·ΔTlm
- Середньологарифмічний температурний напір
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоків
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Задачі для практики
1.ТеплопровідністьСередня
Стіна складається з 200 mm шару (пінополістирол) і 75 mm шару (цегла), її площа 10 m². Зовнішні поверхні мають 22 °C і -2 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.
L1 = 200 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 22 °CT3 = -2 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Стіна з 200 mm (гіпсокартон) і 25 mm (бетон) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -13 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.
L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -13 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
Кожухотрубний теплообмінник (один хід у міжтрубному просторі, два ходи в трубах) має передавати 160 kW. Гарячий теплоносій охолоджується від 135 до 45 °C, а холодний нагрівається від 15 до 80 °C. Поправковий коефіцієнт до LMTD для цієї схеми F = 0,9, а U = 1000 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.
Q̇ = 160 kWF = 0,9U = 1000 W/(m²·K)Th: 135 → 45 °CTc: 15 → 80 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 175 до 100 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 175 → 100 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²
3Розчини
1.Теплопровідність
Відповідь: Q̇ = 41,25 W
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,035·10) = 0,5714 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·10) = 0,01042 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,5818 = 41,25 W
Відповідь
Q̇ = 41,25 W
2.Теплопровідність
Відповідь: Q̇ = 195,1 W
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·8) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·8) = 0,002232 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,1743 K/W
Тепловтрати
Q̇ = (21 − (-13))/0,1743 = 195,1 W
Відповідь
Q̇ = 195,1 W
3.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 4,31 m²
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Різниці температур на кінцях (протитечія)
При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 80 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 15 = 30 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 30)/ln(55/30) = 41,24 K
Площа
A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 160000/(1000·0,9·41,24) = 4,31 m²
Відповідь
A = 4,31 m²
4.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 3,99 m²
Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.
Теплове навантаження і температура води на виході
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·75 = 93,75 kW
Tc,out = 10 + 93,75/(1,5·4,18) = 24,95 °C
Різниці температур на кінцях
При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 24,95 = 150 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 10 = 90 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (150 − 90)/ln(150/90) = 117,5 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 93750/(200·117,5) = 3,99 m²
Відповідь
A = 3,99 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer