Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Мінеральна вата, k = 0,04150 mmПінополістирол, k = 0,03575 mm21 °C-14 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 150 mm шару (мінеральна вата) і 75 mm шару (пінополістирол), її площа 4 m². Зовнішні поверхні мають 21 °C і -14 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 21 °CT3 = -14 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Скло, k = 0,9650 mmПінополістирол, k = 0,03575 mmприміщення 20 °Cнадворі -3 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 50 mm (скло) і 75 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при -3 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 6 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = -3 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT130 °C60 °C20 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Кожухотрубний теплообмінник (один хід у міжтрубному просторі, два ходи в трубах) має передавати 500 kW. Гарячий теплоносій охолоджується від 130 до 60 °C, а холодний нагрівається від 10 до 20 °C. Поправковий коефіцієнт до LMTD для цієї схеми F = 0,88, а U = 200 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 500 kWF = 0,88U = 200 W/(m²·K)Th: 130 → 60 °CTc: 10 → 20 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT90 °C70 °C26,7 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 90 до 70 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 20 °C. При U = 800 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 90 → 70 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 23,76 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·4) = 0,9375 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·4) = 0,5357 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 35/1,473 = 23,76 W

Відповідь

Q̇ = 23,76 W
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 18,78 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·6) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,035·6) = 0,3571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·6) = 0,005556 K/W
ΣR = 0,3922 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (-3))/0,3922 = 58,64 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 58,64·0,02083 = 18,78 °C

Відповідь

Ts = 18,78 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 37,33 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях (протитечія)

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 50)/ln(110/50) = 76,1 K

Площа

A = Q̇/(U·F·ΔTlm,cf) = 500000/(200·0,88·76,1) = 37,33 m²

Відповідь

A = 37,33 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 0,931 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·20 = 42 kW
Tc,out = 20 + 42/(1,5·4,18) = 26,7 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 26,7 = 63,3 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 70 − 20 = 50 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (63,3 − 50)/ln(63,3/50) = 56,39 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 42000/(800·56,39) = 0,931 m²

Відповідь

A = 0,931 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer