Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Скло, k = 0,96150 mmБетон, k = 1,4100 mm21 °C-5 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 150 mm шару (скло) і 100 mm шару (бетон), її площа 6 m². Зовнішні поверхні мають 21 °C і -5 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 150 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 21 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Гіпсокартон, k = 0,17100 mmПінополістирол, k = 0,03525 mmприміщення 22 °Cнадворі 2 °CQ̇ = ?

Стіна з 100 mm (гіпсокартон) і 25 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при 2 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 20 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT130 °C90 °C20 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 20 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 130 до 90 °C, а холодний нагрівається з 10 до 20 °C. Коефіцієнт теплопередачі 300 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 20 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 130 → 90 °CTc: 10 → 20 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT120 °C65 °C60,35 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охолоджується з 120 до 65 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 20 °C. При U = 300 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 120 → 65 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 300 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 3,157 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,96·6) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(1,4·6) = 0,0119 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,03795 = 685,2 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 21 − 685,2·0,02604 = 3,157 °C

Відповідь

Ti = 3,157 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 275,4 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·20) = 0,02941 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·20) = 0,03571 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·20) = 0,0025 K/W
ΣR = 0,07263 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (22 − (2))/0,07263 = 275,4 W

Відповідь

Q̇ = 275,4 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 0,7077 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 20 = 110 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 90 − 10 = 80 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (110 − 80)/ln(110/80) = 94,21 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 20000/(300·94,21) = 0,7077 m²

Відповідь

A = 0,7077 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 16,22 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·55 = 253 kW
Tc,out = 20 + 253/(1,5·4,18) = 60,35 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 60,35 = 59,65 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 20 = 45 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (59,65 − 45)/ln(59,65/45) = 51,98 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 253000/(300·51,98) = 16,22 m²

Відповідь

A = 16,22 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer