Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Пінополістирол, k = 0,035100 mmМінеральна вата, k = 0,04100 mm18 °C6 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 100 mm шару (пінополістирол) і 100 mm шару (мінеральна вата), її площа 10 m². Зовнішні поверхні мають 18 °C і 6 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 100 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 10 m²T1 = 18 °CT3 = 6 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Деревина, k = 0,17150 mmЦегла, k = 0,7275 mmприміщення 21 °Cнадворі -4 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 150 mm (деревина) і 75 mm (цегла) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -4 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -4 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT175 °C110 °C115 °C25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 140 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 175 до 110 °C, а холодний нагрівається з 25 до 115 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 140 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 175 → 110 °CTc: 25 → 115 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT115 °C55 °C35,07 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 115 до 55 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 3 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 20 °C. При U = 800 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 115 → 55 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 22,4 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,035·10) = 0,2857 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,04·10) = 0,25 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 12/0,5357 = 22,4 W

Відповідь

Q̇ = 22,4 W
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 17,51 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·8) = 0,1103 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,72·8) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,1491 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (-4))/0,1491 = 167,6 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 167,6·0,02083 = 17,51 °C

Відповідь

Ts = 17,51 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 1,3 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 175 − 115 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 25 = 85 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 85)/ln(60/85) = 71,78 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 140000/(1500·71,78) = 1,3 m²

Відповідь

A = 1,3 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 4,342 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·60 = 189 kW
Tc,out = 20 + 189/(3·4,18) = 35,07 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 35,07 = 79,93 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (79,93 − 35)/ln(79,93/35) = 54,41 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 189000/(800·54,41) = 4,342 m²

Відповідь

A = 4,342 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer