Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Мінеральна вата, k = 0,0450 mmГіпсокартон, k = 0,1725 mm18 °C3 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 50 mm шару (мінеральна вата) і 25 mm шару (гіпсокартон), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 18 °C і 3 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 18 °CT3 = 3 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Пінополістирол, k = 0,035250 mmСкло, k = 0,9625 mmприміщення 21 °Cнадворі -5 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 250 mm (пінополістирол) і 25 mm (скло) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -5 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 20 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 20 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -5 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT100 °C40 °C70 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 400 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 100 до 40 °C, а холодний нагрівається з 20 до 70 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1000 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 400 kWU = 1000 W/(m²·K)Th: 100 → 40 °CTc: 20 → 70 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT105 °C20 °C?ΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

Пара конденсується за сталої температури 105 °C на зовнішній поверхні труб конденсатора з площею теплообміну 3 m² і U = 2000 W/(m²·K). Охолоджувальна вода (3 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входить у труби при 20 °C. Знайдіть температуру води на виході Tc,out.

Ts = 105 °CA = 3 m²U = 2000 W/(m²·K)ṁ = 3 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °C
Tc,out = °C

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 4,579 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·12) = 0,1042 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·12) = 0,01225 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 15/0,1164 = 128,8 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 128,8·0,1042 = 4,579 °C

Відповідь

Ti = 4,579 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 20,64 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·20) = 0,005 K/W
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·20) = 0,3571 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·20) = 0,001302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,3654 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (-5))/0,3654 = 71,15 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 71,15·0,005 = 20,64 °C

Відповідь

Ts = 20,64 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 16,22 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 70 = 30 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 40 − 20 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (30 − 20)/ln(30/20) = 24,66 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 400000/(1000·24,66) = 16,22 m²

Відповідь

A = 16,22 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: Tc,out = 52,32 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Поєднайте енергетичний баланс і рівняння теплопередачі

Якщо ΔT₁ = Ts − Tc,in і ΔT₂ = Ts − Tc,out, різниця ΔT₁ − ΔT₂ дорівнює підвищенню температури води, тож воно скорочується.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 2000·3/(3·4180) = 0,4785

Температура на виході

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,4785 = 85·0,6197 = 52,68 K
Tc,out = 105 − 52,68 = 52,32 °C

Відповідь

Tc,out = 52,32 °C

Передана теплота: Q̇ = 405,3 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer