Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Скло, k = 0,96100 mmПінополістирол, k = 0,035150 mm19 °C-5 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (скло) і 150 mm шару (пінополістирол), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 19 °C і -5 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 19 °CT3 = -5 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04100 mmГіпсокартон, k = 0,1775 mmприміщення 21 °Cнадворі 5 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 100 mm (мінеральна вата) і 75 mm (гіпсокартон) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при 5 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 20 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 20 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT140 °C15 °C40 °CΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

У конденсаторі пара конденсується за сталої температури 140 °C на зовнішній поверхні труб. Охолоджувальна вода (5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) тече трубами й нагрівається від 15 до 40 °C. Коефіцієнт теплопередачі 3500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Ts = 140 °Cṁ = 5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc: 15 → 40 °CU = 3500 W/(m²·K)
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT130 °C80 °C50,12 °C25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 130 до 80 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 25 °C. При U = 1000 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 130 → 80 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 18,43 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,96·12) = 0,008681 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,035·12) = 0,3571 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 24/0,3658 = 65,61 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 19 − 65,61·0,008681 = 18,43 °C

Відповідь

Ti = 18,43 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 20,15 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·20) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·20) = 0,125 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·20) = 0,02206 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·20) = 0,002 K/W
ΣR = 0,1574 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (5))/0,1574 = 101,7 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 21 − 101,7·0,008333 = 20,15 °C

Відповідь

Ts = 20,15 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 1,332 m²

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Теплове навантаження з боку води

Q̇ = 5·4,18·(40 − 15) = 522,5 kW

Різниці температур на кінцях

ΔT₁ = 140 − 15 = 125 K
ΔT₂ = 140 − 40 = 100 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (125 − 100)/ln(125/100) = 112 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 522500/(3500·112) = 1,332 m²

Відповідь

A = 1,332 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,362 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·50 = 157,5 kW
Tc,out = 25 + 157,5/(1,5·4,18) = 50,12 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 130 − 50,12 = 79,88 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (79,88 − 55)/ln(79,88/55) = 66,67 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 157500/(1000·66,67) = 2,362 m²

Відповідь

A = 2,362 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer