Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Цегла, k = 0,72150 mmДеревина, k = 0,1725 mm18 °C-13 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 150 mm шару (цегла) і 25 mm шару (деревина), її площа 8 m². Зовнішні поверхні мають 18 °C і -13 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 150 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 18 °CT3 = -13 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Бетон, k = 1,4150 mmПінополістирол, k = 0,035100 mmприміщення 21 °Cнадворі -7 °CQ̇ = ?

Стіна з 150 mm (бетон) і 100 mm (пінополістирол) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -7 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 6 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 6 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -7 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT115 °C50 °C10 °C45 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 170 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 115 до 50 °C, а холодний нагрівається з 10 до 45 °C. Коефіцієнт теплопередачі 300 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 170 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 115 → 50 °CTc: 10 → 45 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT90 °C50 °C30,07 °C15 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 90 до 50 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 2 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 15 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 90 → 50 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 15 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = −0,1724 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,72·8) = 0,02604 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,17·8) = 0,01838 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,04442 = 697,8 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 697,8·0,02604 = −0,1724 °C

Відповідь

Ti = −0,1724 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 53,69 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·6) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·6) = 0,4762 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·6) = 0,006667 K/W
ΣR = 0,5215 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (-7))/0,5215 = 53,69 W

Відповідь

Q̇ = 53,69 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 17,25 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 115 − 10 = 105 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 50 − 45 = 5 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (105 − 5)/ln(105/5) = 32,85 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 170000/(300·32,85) = 17,25 m²

Відповідь

A = 17,25 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 13,59 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,1·40 = 126 kW
Tc,out = 15 + 126/(2·4,18) = 30,07 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 30,07 = 59,93 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 15 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (59,93 − 35)/ln(59,93/35) = 46,35 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 126000/(200·46,35) = 13,59 m²

Відповідь

A = 13,59 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer