Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Цегла, k = 0,72200 mmСкло, k = 0,9675 mm18 °C-9 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 200 mm шару (цегла) і 75 mm шару (скло), її площа 4 m². Зовнішні поверхні мають 18 °C і -9 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 200 mm, k1 = 0,72 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 18 °CT3 = -9 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Гіпсокартон, k = 0,17100 mmБетон, k = 1,450 mmприміщення 22 °Cнадворі -4 °CQ̇

Стіна з 100 mm (гіпсокартон) і 50 mm (бетон) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -4 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 12 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 12 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -4 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT160 °C80 °C90 °C25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 300 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 160 до 80 °C, а холодний нагрівається з 25 до 90 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 300 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 160 → 80 °CTc: 25 → 90 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT120 °C60 °C?25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

У протитечійному теплообміннику «труба в трубі» гаряча олива (0,3 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) тече внутрішньою трубою й охолоджується від 120 до 60 °C. Вода (0,8 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) у кільцевому каналі входить при 25 °C. Внутрішня труба має діаметр 32 mm, і U = 400 W/(m²·K) віднесено до цього діаметра. Знайдіть потрібну довжину труби L.

ṁh = 0,3 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 120 → 60 °Cṁc = 0,8 kg/sTc,in = 25 °CD = 32 mmU = 400 W/(m²·K)
L = m

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = −3,073 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,72·4) = 0,06944 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·4) = 0,01953 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 27/0,08898 = 303,5 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 303,5·0,06944 = −3,073 °C

Відповідь

Ti = −3,073 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 1,244 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·12) = 0,01082 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·12) = 0,04902 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·12) = 0,002976 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·12) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,06698 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,06698) = 1,244 W/(m²·K)

Відповідь

U = 1,244 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 3,215 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 90 = 70 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 80 − 25 = 55 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (70 − 55)/ln(70/55) = 62,2 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 300000/(1500·62,2) = 3,215 m²

Відповідь

A = 3,215 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: L = 16,83 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = 0,3·2,1·(120 − 60) = 37,8 kW
Tc,out = 25 + 37,8/(0,8·4,18) = 36,3 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 120 − 36,3 = 83,7 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 25 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (83,7 − 35)/ln(83,7/35) = 55,85 K

Площа й довжина

A = 37800/(400·55,85) = 1,692 m²
L = A/(πD) = 1,692/(π·0,032) = 16,83 m

Відповідь

L = 16,83 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer