Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Скло, k = 0,9650 mmДеревина, k = 0,1775 mm25 °C-13 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 50 mm шару (скло) і 75 mm шару (деревина), її площа 12 m². Зовнішні поверхні мають 25 °C і -13 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 50 mm, k1 = 0,96 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 12 m²T1 = 25 °CT3 = -13 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Деревина, k = 0,1750 mmСкло, k = 0,9675 mmприміщення 21 °Cнадворі -2 °CQ̇ = ?

Стіна з 50 mm (деревина) і 75 mm (скло) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -2 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 7,7 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 50 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 7,7 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -2 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT115 °C50 °C60 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 370 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 115 до 50 °C, а холодний нагрівається з 20 до 60 °C. Коефіцієнт теплопередачі 800 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 370 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 115 → 50 °CTc: 20 → 60 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT155 °C110 °C69,52 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (2 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охолоджується з 155 до 110 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 20 °C. При U = 800 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 155 → 110 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 800 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 20,99 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,96·12) = 0,00434 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·12) = 0,03676 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 38/0,0411 = 924,5 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 25 − 924,5·0,00434 = 20,99 °C

Відповідь

Ti = 20,99 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 343,6 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(7,7·8) = 0,01623 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,17·8) = 0,03676 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·8) = 0,009766 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·8) = 0,004167 K/W
ΣR = 0,06693 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (-2))/0,06693 = 343,6 W

Відповідь

Q̇ = 343,6 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 11,21 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 115 − 60 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 20 = 30 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 30)/ln(55/30) = 41,24 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 370000/(800·41,24) = 11,21 m²

Відповідь

A = 11,21 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,95 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,3·45 = 207 kW
Tc,out = 20 + 207/(1·4,18) = 69,52 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 155 − 69,52 = 85,48 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 110 − 20 = 90 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (85,48 − 90)/ln(85,48/90) = 87,72 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 207000/(800·87,72) = 2,95 m²

Відповідь

A = 2,95 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer