Теплопровідність
- Закон Фур’є
- Q̇ = kAΔT/L
- Термічний опір теплопровідності
- R = L/(kA)
- Термічний опір тепловіддачі
- R = 1/(hA)
- Послідовні опори
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коефіцієнт теплопередачі U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Теплообмінники (LMTD)
- Теплове навантаження
- Q = U·A·ΔTlm
- Середньологарифмічний температурний напір
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоків
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Задачі для практики
1.ТеплопровідністьСередня
Стіна складається з 150 mm шару (бетон) і 25 mm шару (пінополістирол), її площа 4 m². Зовнішні поверхні мають 21 °C і -10 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 4 m²T1 = 21 °CT3 = -10 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Стіна з 150 mm (бетон) і 25 mm (мінеральна вата) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при 5 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 8 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 5 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
Прямотечійний теплообмінник передає 110 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 145 до 110 °C, а холодний нагрівається з 10 до 100 °C. Коефіцієнт теплопередачі 300 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.
Q̇ = 110 kWU = 300 W/(m²·K)Th: 145 → 110 °CTc: 10 → 100 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
У протитечійному теплообміннику обидва потоки мають однакову повну теплоємність ṁ·cp = 0,5 kW/K. Гарячий потік входить при 80 °C, а холодний при 25 °C. Теплообмінник має A = 1 m² і U = 500 W/(m²·K). Знайдіть температуру гарячого потоку на виході Th,out.
Ch = Cc = 0,5 kW/KTh,in = 80 °CTc,in = 25 °CA = 1 m²U = 500 W/(m²·K)
Th,out = °C
3Розчини
1.Теплопровідність
Відповідь: Q̇ = 151 W
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·4) = 0,02679 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,035·4) = 0,1786 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,2054 = 151 W
Відповідь
Q̇ = 151 W
2.Теплопровідність
Відповідь: Q̇ = 142,7 W
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·8) = 0,01563 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·8) = 0,01339 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,04·8) = 0,07813 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,1121 K/W
Тепловтрати
Q̇ = (21 − (5))/0,1121 = 142,7 W
Відповідь
Q̇ = 142,7 W
3.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 7,635 m²
Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.
Різниці температур на кінцях
При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 145 − 10 = 135 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 110 − 100 = 10 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (135 − 10)/ln(135/10) = 48,03 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 110000/(300·48,03) = 7,635 m²
Відповідь
A = 7,635 m²
4.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: Th,out = 52,5 °C
LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.
Стала різниця температур
Вихід холодного потоку розташований навпроти входу гарячого: Tc,out = Tc,in + (Th,in − Th,out), тож ΔT₁ = Th,in − Tc,out = Th,out − Tc,in = ΔT₂.
ΔTlm = Th,out − Tc,in
Енергетичний баланс дорівнює рівнянню теплопередачі
0,5·(80 − Th,out) = 0,5·(Th,out − 25)
Th,out = (0,5·80 + 0,5·25)/(0,5 + 0,5) = 52,5 °C
Відповідь
Th,out = 52,5 °C
Передана теплота: Q̇ = 13,75 kW; холодний потік виходить при 52,5 °C.
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer