Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Бетон, k = 1,4200 mmЦегла, k = 0,7250 mm18 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 200 mm шару (бетон) і 50 mm шару (цегла), її площа 8 m². Зовнішні поверхні мають 18 °C і -8 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 200 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,72 W/(m·K)A = 8 m²T1 = 18 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04100 mmГіпсокартон, k = 0,1750 mmприміщення 20 °Cнадворі 5 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 100 mm (мінеральна вата) і 50 mm (гіпсокартон) відділяє приміщення при 20 °C від зовнішнього повітря при 5 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 100 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 20 °CTout = 5 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT100 °C45 °C40 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 190 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 100 до 45 °C, а холодний нагрівається з 10 до 40 °C. Коефіцієнт теплопередачі 500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 190 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 100 → 45 °CTc: 10 → 40 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT105 °C25 °C?ΔT₁ΔT₂пара, що конденсується

Пара конденсується за сталої температури 105 °C на зовнішній поверхні труб конденсатора з площею теплообміну 4 m² і U = 1500 W/(m²·K). Охолоджувальна вода (1,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) входить у труби при 25 °C. Знайдіть температуру води на виході Tc,out.

Ts = 105 °CA = 4 m²U = 1500 W/(m²·K)ṁ = 1,5 kg/scp = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 25 °C
Tc,out = °C

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 0,5047 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(1,4·8) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,72·8) = 0,008681 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 26/0,02654 = 979,7 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 18 − 979,7·0,01786 = 0,5047 °C

Відповідь

Ti = 0,5047 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 19,36 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,04·15) = 0,1667 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,17·15) = 0,01961 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·15) = 0,002222 K/W
ΣR = 0,1968 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (20 − (5))/0,1968 = 76,21 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 20 − 76,21·0,008333 = 19,36 °C

Відповідь

Ts = 19,36 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 8,193 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 40 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 45 − 10 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 35)/ln(60/35) = 46,38 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 190000/(500·46,38) = 8,193 m²

Відповідь

A = 8,193 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: Tc,out = 74,27 °C

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Поєднайте енергетичний баланс і рівняння теплопередачі

Якщо ΔT₁ = Ts − Tc,in і ΔT₂ = Ts − Tc,out, різниця ΔT₁ − ΔT₂ дорівнює підвищенню температури води, тож воно скорочується.

ṁcp(ΔT₁ − ΔT₂) = U·A·(ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂)
ln(ΔT₁/ΔT₂) = U·A/(ṁcp) = 1500·4/(1,5·4180) = 0,9569

Температура на виході

ΔT₂ = ΔT₁·e−0,9569 = 80·0,3841 = 30,73 K
Tc,out = 105 − 30,73 = 74,27 °C

Відповідь

Tc,out = 74,27 °C

Передана теплота: Q̇ = 309 kW.

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer