Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Мінеральна вата, k = 0,0450 mmБетон, k = 1,425 mm15 °C7 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 50 mm шару (мінеральна вата) і 25 mm шару (бетон), її площа 20 m². Зовнішні поверхні мають 15 °C і 7 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 50 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 20 m²T1 = 15 °CT3 = 7 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04200 mmСкло, k = 0,9625 mmприміщення 22 °Cнадворі -15 °CQ̇

Стіна з 200 mm (мінеральна вата) і 25 mm (скло) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -15 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 12 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.

L1 = 200 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 25 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 12 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -15 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT160 °C50 °C105 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 130 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 160 до 50 °C, а холодний нагрівається з 30 до 105 °C. Коефіцієнт теплопередачі 200 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 130 kWU = 200 W/(m²·K)Th: 160 → 50 °CTc: 30 → 105 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT140 °C75 °C40,89 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 140 до 75 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 30 °C. При U = 200 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 140 → 75 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 200 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 7,113 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,04·20) = 0,0625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(1,4·20) = 0,0008929 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 8/0,06339 = 126,2 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 126,2·0,0625 = 7,113 °C

Відповідь

Ti = 7,113 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: U = 0,1911 W/(m²·K)

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·12) = 0,01389 K/W
R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,04·12) = 0,4167 K/W
R2 = L2/(k2A) = (25/1000)/(0,96·12) = 0,00217 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·12) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,4361 K/W

Коефіцієнт теплопередачі

U = 1/(A·ΣR) = 1/(12·0,4361) = 0,1911 W/(m²·K)

Відповідь

U = 0,1911 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 18,79 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 160 − 105 = 55 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 30 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (55 − 20)/ln(55/20) = 34,6 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 130000/(200·34,6) = 18,79 m²

Відповідь

A = 18,79 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 4,979 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,1·65 = 68,25 kW
Tc,out = 30 + 68,25/(1,5·4,18) = 40,89 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 140 − 40,89 = 99,11 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 30 = 45 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (99,11 − 45)/ln(99,11/45) = 68,53 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 68250/(200·68,53) = 4,979 m²

Відповідь

A = 4,979 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer