Теплопровідність
- Закон Фур’є
- Q̇ = kAΔT/L
- Термічний опір теплопровідності
- R = L/(kA)
- Термічний опір тепловіддачі
- R = 1/(hA)
- Послідовні опори
- Q̇ = ΔTtotal/ΣR
- Коефіцієнт теплопередачі U
- U = 1/(ΣR·A)
Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок
Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.
1Формули та методи
Теплообмінники (LMTD)
- Теплове навантаження
- Q = U·A·ΔTlm
- Середньологарифмічний температурний напір
- ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
- Баланс потоків
- Q = ṁcp(Tin − Tout)
2Задачі для практики
1.ТеплопровідністьСередня
Стіна складається з 250 mm шару (пінополістирол) і 150 mm шару (скло), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 21 °C і -4 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.
L1 = 250 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 21 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Стіна з 150 mm (бетон) і 75 mm (скло) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -3 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 8 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 15 m². Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U стіни.
L1 = 150 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 15 m²hi = 8 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -3 °C
U = W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
Прямотечійний теплообмінник передає 100 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 125 до 85 °C, а холодний нагрівається з 30 до 75 °C. Коефіцієнт теплопередачі 1500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.
Q̇ = 100 kWU = 1500 W/(m²·K)Th: 125 → 85 °CTc: 30 → 75 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
Гаряча олива (0,5 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) охолоджується з 95 до 60 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 3 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 500 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.
ṁh = 0,5 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 95 → 60 °Cṁc = 3 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²
3Розчини
1.Теплопровідність
Відповідь: Q̇ = 51,38 W
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Опори шарів
R1 = L1/(k1A) = (250/1000)/(0,035·15) = 0,4762 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(0,96·15) = 0,01042 K/W
Тепловий потік
Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 25/0,4866 = 51,38 W
Відповідь
Q̇ = 51,38 W
2.Теплопровідність
Відповідь: U = 2,776 W/(m²·K)
Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.
Послідовні опори
Ri = 1/(hiA) = 1/(8·15) = 0,008333 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(1,4·15) = 0,007143 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,96·15) = 0,005208 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·15) = 0,003333 K/W
ΣR = 0,02402 K/W
Коефіцієнт теплопередачі
U = 1/(A·ΣR) = 1/(15·0,02402) = 2,776 W/(m²·K)
Відповідь
U = 2,776 W/(m²·K)
3.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 1,766 m²
Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.
Різниці температур на кінцях
При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.
ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 125 − 30 = 95 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 85 − 75 = 10 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (95 − 10)/ln(95/10) = 37,76 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 100000/(1500·37,76) = 1,766 m²
Відповідь
A = 1,766 m²
4.Теплообмінники (LMTD)
Відповідь: A = 1,357 m²
Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.
Теплове навантаження і температура води на виході
Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 0,5·2,5·35 = 43,75 kW
Tc,out = 10 + 43,75/(3·4,18) = 13,49 °C
Різниці температур на кінцях
При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.
ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 95 − 13,49 = 81,51 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 60 − 10 = 50 K
Середньологарифмічна різниця температур
ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (81,51 − 50)/ln(81,51/50) = 64,48 K
Площа
A = Q̇/(U·ΔTlm) = 43750/(500·64,48) = 1,357 m²
Відповідь
A = 1,357 m²
ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer