Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Гіпсокартон, k = 0,17100 mmБетон, k = 1,450 mm15 °C5 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 100 mm шару (гіпсокартон) і 50 mm шару (бетон), її площа 6 m². Зовнішні поверхні мають 15 °C і 5 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 100 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 15 °CT3 = 5 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Бетон, k = 1,4100 mmМінеральна вата, k = 0,0475 mmприміщення 21 °Cнадворі -15 °CQ̇ = ?

Стіна з 100 mm (бетон) і 75 mm (мінеральна вата) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при -15 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 30 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 4 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 100 mm, k1 = 1,4 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,04 W/(m·K)A = 4 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 30 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = -15 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT135 °C35 °C55 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 380 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 135 до 35 °C, а холодний нагрівається з 10 до 55 °C. Коефіцієнт теплопередачі 800 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 380 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 135 → 35 °CTc: 10 → 55 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT100 °C50 °C?25 °CΔT₁ΔT₂протитечія

У протитечійному теплообміннику «труба в трубі» гаряча олива (0,2 kg/s, cp = 2,5 kJ/(kg·K)) тече внутрішньою трубою й охолоджується від 100 до 50 °C. Вода (0,5 kg/s, cp = 4,18 kJ/(kg·K)) у кільцевому каналі входить при 25 °C. Внутрішня труба має діаметр 40 mm, і U = 250 W/(m²·K) віднесено до цього діаметра. Знайдіть потрібну довжину труби L.

ṁh = 0,2 kg/scp,h = 2,5 kJ/(kg·K)Th: 100 → 50 °Cṁc = 0,5 kg/sTc,in = 25 °CD = 40 mmU = 250 W/(m²·K)
L = m

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 5,572 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(0,17·6) = 0,09804 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(1,4·6) = 0,005952 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 10/0,104 = 96,16 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 15 − 96,16·0,09804 = 5,572 °C

Відповідь

Ti = 5,572 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 69,24 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·4) = 0,025 K/W
R1 = L1/(k1A) = (100/1000)/(1,4·4) = 0,01786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,04·4) = 0,4688 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(30·4) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,5199 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (-15))/0,5199 = 69,24 W

Відповідь

Q̇ = 69,24 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 10,05 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 135 − 55 = 80 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 35 − 10 = 25 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (80 − 25)/ln(80/25) = 47,29 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 380000/(800·47,29) = 10,05 m²

Відповідь

A = 10,05 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: L = 19,35 m

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = 0,2·2,5·(100 − 50) = 25 kW
Tc,out = 25 + 25/(0,5·4,18) = 36,96 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 100 − 36,96 = 63,04 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 25 = 25 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (63,04 − 25)/ln(63,04/25) = 41,13 K

Площа й довжина

A = 25000/(250·41,13) = 2,431 m²
L = A/(πD) = 2,431/(π·0,04) = 19,35 m

Відповідь

L = 19,35 m

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer