Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Деревина, k = 0,17150 mmБетон, k = 1,4150 mm16 °C-4 °CQ̇ = ?

Стіна складається з 150 mm шару (деревина) і 150 mm шару (бетон), її площа 6 m². Зовнішні поверхні мають 16 °C і -4 °C. Знайдіть тепловий потік Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 150 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²T1 = 16 °CT3 = -4 °C
Q̇ = W
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04150 mmБетон, k = 1,475 mmприміщення 22 °Cнадворі -15 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 150 mm (мінеральна вата) і 75 mm (бетон) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -15 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 6 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 1,4 W/(m·K)A = 6 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -15 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT90 °C75 °C30 °C65 °CΔT₁ΔT₂прямотечія

Прямотечійний теплообмінник передає 450 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 90 до 75 °C, а холодний нагрівається з 30 до 65 °C. Коефіцієнт теплопередачі 500 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 450 kWU = 500 W/(m²·K)Th: 90 → 75 °CTc: 30 → 65 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT110 °C55 °C47,63 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 110 до 55 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 20 °C. При U = 1000 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 110 → 55 °Cṁc = 1 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 20 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 121,3 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·6) = 0,1471 K/W
R2 = L2/(k2A) = (150/1000)/(1,4·6) = 0,01786 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 20/0,1649 = 121,3 W

Відповідь

Q̇ = 121,3 W
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 21,06 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·6) = 0,01667 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·6) = 0,625 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(1,4·6) = 0,008929 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·6) = 0,008333 K/W
ΣR = 0,6589 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (22 − (-15))/0,6589 = 56,15 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 56,15·0,01667 = 21,06 °C

Відповідь

Ts = 21,06 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 32,25 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При прямотечії обидва входи на одному кінці, а обидва виходи — на іншому.

ΔT₁ = Th,in − Tc,in = 90 − 30 = 60 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,out = 75 − 65 = 10 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (60 − 10)/ln(60/10) = 27,91 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 450000/(500·27,91) = 32,25 m²

Відповідь

A = 32,25 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,438 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1·2,1·55 = 115,5 kW
Tc,out = 20 + 115,5/(1·4,18) = 47,63 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 110 − 47,63 = 62,37 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 55 − 20 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (62,37 − 35)/ln(62,37/35) = 47,37 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 115500/(1000·47,37) = 2,438 m²

Відповідь

A = 2,438 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer