Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Деревина, k = 0,17200 mmПінополістирол, k = 0,035100 mm23 °C-8 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 200 mm шару (деревина) і 100 mm шару (пінополістирол), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 23 °C і -8 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 200 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,035 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 23 °CT3 = -8 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Пінополістирол, k = 0,03550 mmСкло, k = 0,9650 mmприміщення 22 °Cнадворі -10 °CTs​ = ?Q̇

Стіна з 50 mm (пінополістирол) і 50 mm (скло) відділяє приміщення при 22 °C від зовнішнього повітря при -10 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 10 W/(m²·K) всередині та 20 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть температуру Ts внутрішньої поверхні стіни.

L1 = 50 mm, k1 = 0,035 W/(m·K)L2 = 50 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 10 W/(m²·K)ho = 20 W/(m²·K)Troom = 22 °CTout = -10 °C
Ts = °C
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT85 °C50 °C45 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 380 kW. Гарячий теплоносій охолоджується з 85 до 50 °C, а холодний нагрівається з 30 до 45 °C. Коефіцієнт теплопередачі 800 W/(m²·K). Знайдіть потрібну площу теплообміну A.

Q̇ = 380 kWU = 800 W/(m²·K)Th: 85 → 50 °CTc: 30 → 45 °C
A = m²
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT90 °C65 °C43,76 °C30 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (1,5 kg/s, cp = 2,3 kJ/(kg·K)) охолоджується з 90 до 65 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 1,5 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 30 °C. При U = 1000 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 1,5 kg/scp,h = 2,3 kJ/(kg·K)Th: 90 → 65 °Cṁc = 1,5 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 30 °CU = 1000 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 13,96 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (200/1000)/(0,17·15) = 0,07843 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,035·15) = 0,1905 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 31/0,2689 = 115,3 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 23 − 115,3·0,07843 = 13,96 °C

Відповідь

Ti = 13,96 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Ts = 20,04 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(10·8) = 0,0125 K/W
R1 = L1/(k1A) = (50/1000)/(0,035·8) = 0,1786 K/W
R2 = L2/(k2A) = (50/1000)/(0,96·8) = 0,00651 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(20·8) = 0,00625 K/W
ΣR = 0,2038 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (22 − (-10))/0,2038 = 157 W
Ts = Troom − Q̇·Ri = 22 − 157·0,0125 = 20,04 °C

Відповідь

Ts = 20,04 °C
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 16,46 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 85 − 45 = 40 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 50 − 30 = 20 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (40 − 20)/ln(40/20) = 28,85 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 380000/(800·28,85) = 16,46 m²

Відповідь

A = 16,46 m²
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,137 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 1,5·2,3·25 = 86,25 kW
Tc,out = 30 + 86,25/(1,5·4,18) = 43,76 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 90 − 43,76 = 46,24 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 65 − 30 = 35 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (46,24 − 35)/ln(46,24/35) = 40,36 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 86250/(1000·40,36) = 2,137 m²

Відповідь

A = 2,137 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer