Тепломасообмін: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 4 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Теплопровідність

Закон Фур’є
Q̇ = kAΔT/L
Термічний опір теплопровідності
R = L/(kA)
Термічний опір тепловіддачі
R = 1/(hA)
Послідовні опори
Q̇ = ΔTtotal/ΣR
Коефіцієнт теплопередачі U
U = 1/(ΣR·A)

Теплообмінники (LMTD)

Теплове навантаження
Q = U·A·ΔTlm
Середньологарифмічний температурний напір
ΔTlm = (ΔT1 − ΔT2)/ln(ΔT1/ΔT2)
Баланс потоків
Q = ṁcp(Tin − Tout)

2Задачі для практики

1.ТеплопровідністьСередня
Деревина, k = 0,17150 mmГіпсокартон, k = 0,1775 mm20 °C1 °CTi​ = ?Q̇

Стіна складається з 150 mm шару (деревина) і 75 mm шару (гіпсокартон), її площа 15 m². Зовнішні поверхні мають 20 °C і 1 °C. Знайдіть температуру Ti на межі між двома шарами.

L1 = 150 mm, k1 = 0,17 W/(m·K)L2 = 75 mm, k2 = 0,17 W/(m·K)A = 15 m²T1 = 20 °CT3 = 1 °C
Ti = °C
2.ТеплопровідністьСкладна
Мінеральна вата, k = 0,04150 mmСкло, k = 0,96100 mmприміщення 21 °Cнадворі 2 °CQ̇ = ?

Стіна з 150 mm (мінеральна вата) і 100 mm (скло) відділяє приміщення при 21 °C від зовнішнього повітря при 2 °C. Коефіцієнти тепловіддачі — 6 W/(m²·K) всередині та 25 W/(m²·K) ззовні, площа стіни 8 m². Знайдіть тепловтрати Q̇ через стіну.

L1 = 150 mm, k1 = 0,04 W/(m·K)L2 = 100 mm, k2 = 0,96 W/(m·K)A = 8 m²hi = 6 W/(m²·K)ho = 25 W/(m²·K)Troom = 21 °CTout = 2 °C
Q̇ = W
3.Теплообмінники (LMTD)Середня
довжинаT150 °C75 °C140 °C20 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Протитечійний теплообмінник передає 430 kW. Його площа теплообміну 5 m². Гарячий теплоносій охолоджується від 150 до 75 °C, а холодний нагрівається від 20 до 140 °C. Знайдіть коефіцієнт теплопередачі U.

Q̇ = 430 kWA = 5 m²Th: 150 → 75 °CTc: 20 → 140 °C
U = W/(m²·K)
4.Теплообмінники (LMTD)Складна
довжинаT125 °C100 °C22,56 °C10 °CΔT₁ΔT₂протитечія

Гаряча олива (2 kg/s, cp = 2,1 kJ/(kg·K)) охолоджується з 125 до 100 °C у протитечійному теплообміннику. Вона нагріває 2 kg/s води (cp = 4,18 kJ/(kg·K)), що входить при 10 °C. При U = 500 W/(m²·K) знайдіть потрібну площу теплообміну A.

ṁh = 2 kg/scp,h = 2,1 kJ/(kg·K)Th: 125 → 100 °Cṁc = 2 kg/scp,c = 4,18 kJ/(kg·K)Tc,in = 10 °CU = 500 W/(m²·K)
A = m²

3Розчини

1.Теплопровідність

Відповідь: Ti = 7,333 °C

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Опори шарів

R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,17·15) = 0,05882 K/W
R2 = L2/(k2A) = (75/1000)/(0,17·15) = 0,02941 K/W

Тепловий потік

Q̇ = (T1 − T3)/(R1 + R2) = 19/0,08824 = 215,3 W

Температура на межі

На першому шарі температура падає на Q̇·R₁.

Ti = T1 − Q̇·R1 = 20 − 215,3·0,05882 = 7,333 °C

Відповідь

Ti = 7,333 °C
2.Теплопровідність

Відповідь: Q̇ = 37,43 W

Термічний опір: усталений тепловий потік через послідовні шари поводиться як струм через послідовні резистори: Q̇ = ΔT/ΣR, де R = L/(kA) для теплопровідного шару і R = 1/(hA) для поверхні з конвекцією. Перепад температури на кожному шарі пропорційний його опору.

Послідовні опори

Ri = 1/(hiA) = 1/(6·8) = 0,02083 K/W
R1 = L1/(k1A) = (150/1000)/(0,04·8) = 0,4688 K/W
R2 = L2/(k2A) = (100/1000)/(0,96·8) = 0,01302 K/W
Ro = 1/(hoA) = 1/(25·8) = 0,005 K/W
ΣR = 0,5076 K/W

Тепловтрати

Q̇ = (21 − (2))/0,5076 = 37,43 W

Відповідь

Q̇ = 37,43 W
3.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: U = 3258 W/(m²·K)

LMTD method: the temperature difference between the streams changes along the exchanger, so the rate equation uses its logarithmic mean: Q̇ = U·A·ΔTlm, with ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), where ΔT₁ and ΔT₂ are the differences at the two ends. Counter-flow gives a larger ΔTlm than parallel flow for the same inlet and outlet temperatures.

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 150 − 140 = 10 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 75 − 20 = 55 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (10 − 55)/ln(10/55) = 26,4 K

Коефіцієнт теплопередачі

U = Q̇/(A·ΔTlm) = 430000/(5·26,4) = 3258 W/(m²·K)

Відповідь

U = 3258 W/(m²·K)
4.Теплообмінники (LMTD)

Відповідь: A = 2,186 m²

Метод LMTD: різниця температур між потоками змінюється вздовж теплообмінника, тож рівняння теплопередачі використовує її середньологарифмічне значення: Q̇ = U·A·ΔTlm, де ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂), а ΔT₁ і ΔT₂ — різниці на двох кінцях. За тих самих температур на вході й виході протитечія дає більший ΔTlm, ніж прямотечія.

Теплове навантаження і температура води на виході

Q̇ = ṁhcp,h(Th,in − Th,out) = 2·2,1·25 = 105 kW
Tc,out = 10 + 105/(2·4,18) = 22,56 °C

Різниці температур на кінцях

При протитечії гарячий вхід навпроти холодного виходу, а гарячий вихід — навпроти холодного входу.

ΔT₁ = Th,in − Tc,out = 125 − 22,56 = 102,4 K
ΔT₂ = Th,out − Tc,in = 100 − 10 = 90 K

Середньологарифмічна різниця температур

ΔTlm = (ΔT₁ − ΔT₂)/ln(ΔT₁/ΔT₂) = (102,4 − 90)/ln(102,4/90) = 96,09 K

Площа

A = Q̇/(U·ΔTlm) = 105000/(500·96,09) = 2,186 m²

Відповідь

A = 2,186 m²

ExamProblems · examproblems.com/courses/heat-transfer