Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під 2 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 6 років.

PV = €5 000r = 2%t = 6

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €300 наприкінці кожного місяця протягом 26 років. Рахунок дає 6 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €3006% / 12N = 312

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 3%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 4 років. Дохідність до погашення — 4% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 3%YTM = 4%n = 4

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 6%n = 5YTM = 5%

D = роки

5.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 9,75%, вартість боргу до оподаткування 3%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €6 000 000D = €1 000 000WACC = 9,75%r_d = 3%T = 25,8%

r_e = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 000 000 акцій по €35,00 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 6%, ставка податку — 25%. Бета акції — 1,5, безризикова ставка — 4%, ринкова дохідність — 10%. Знайдіть WACC.

β = 1,5r_f = 4%r_m = 10%r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €15 000, €17 000, €15 000, €11 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 12%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 17 000CF₃ = 15 000CF₄ = 11 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €23 500, €24 000, €13 000 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 8 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 8%CF₀ = −40 000CF₁ = 23 500CF₂ = 24 000CF₃ = 13 000

MIRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 5637 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,02·6 = 0,12

e^0,12 = 1,127

Майбутня вартість

FV = 5 000·1,127 = €5 637,48

Відповідь

FV = €5 637,48

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 224422 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,06/12 = 0,005

N = 12·26 = 312

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(4,74 − 1)/0,005 = €224 421,56

Відповідь

FV = €224 421,56

Самі ви внесли €93 600; решта — відсотки.

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 963,4 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €15,00, i = 0,02, N = 8

Теперішня вартість купонів

€15,00·(1 − 0,8535)/0,02 = €109,88

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8535 = €853,49

Ціна

P = €963,37

Відповідь

P = €963,37

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 4,478 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 60/1,05 = 57,14, t·PV = 57,14

t = 2: 60/1,103 = 54,42, t·PV = 108,84

t = 3: 60/1,158 = 51,83, t·PV = 155,49

t = 4: 60/1,216 = 49,36, t·PV = 197,45

t = 5: 1060/1,276 = 830,54, t·PV = 4 152,69

Дюрація

P = 1 043,29

D = 4 671,61/1 043,29 = 4,478

Відповідь

D = 4,478 роки

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 11 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €7 000 000, E/V = 0,8571, D/V = 0,1429

Частка боргу у WACC

0,1429·3%·(1 − 0,258) = 0,318%

Вартість власного капіталу

r_e = (9,75% − 0,318%)/0,8571 = 11%

Відповідь

r_e = 11%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 11,11 %

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€35,00 = €70 000 000

D = 20 000·€1 000 = €20 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 4% + 1,5·6% = 13%

Ваги

V = €90 000 000, E/V = 0,7778, D/V = 0,2222

WACC

WACC = 0,7778·13% + 0,2222·6%·(1 − 0,25) = 11,11%

Відповідь

WACC = 11,11%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −387,4 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 15 000/1,12 = 13 392,86

CF₂/(1 + 0,12)² = 17 000/1,254 = 13 552,30

CF₃/(1 + 0,12)³ = 15 000/1,405 = 10 676,70

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 11 000/1,574 = 6 990,70

Додайте

NPV = €−387,44

Відповідь

NPV = €−387,44

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 18,36 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

23 500·1,08² = 27 410,40

24 000·1,08¹ = 25 920,00

13 000·1,08⁰ = 13 000,00

TV = 66 330,40

MIRR

MIRR = (66 330,40/40 000)^1/3 − 1 = 18,36%

Відповідь

MIRR = 18,36%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation