Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 3 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 8 років.

PV = €2 0003% / 12n = 8

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €50 000 через 17 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €50 0005,4% / 12N = 204

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4,5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 4,5%YTM = 6%n = 3

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4,5% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 5,5%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 4,5%n = 5YTM = 5,5%

D = роки

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €5 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 8%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.

E = €5 000 000D = €2 000 000r_e = 8%r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Акції компанії мають бету 0,9 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,25. Ставка податку 30%, безризикова ставка 1%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e після зміни.

β_L = 0,9D/E₁ = 0,25D/E₂ = 1,25T = 30%r_f = 1%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €45 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €15 000, €20 000, €20 000, €16 000. Вартість капіталу — 7,000000000000001 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 7,000000000000001%CF₀ = −45 000CF₁ = 15 000CF₂ = 20 000CF₃ = 20 000CF₄ = 16 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €34 000, €30 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −50 000CF₁ = 34 000CF₂ = 30 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 2542 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,03/12 = 0,0025

N = m·n = 12·8 = 96

Майбутня вартість

FV = 2 000·(1 + 0,0025)⁹⁶ = 2 000·1,271 = €2 541,74

Відповідь

FV = €2 541,74

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 150,1 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·17 = 204

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 50 000·0,0045/(2,499 − 1) = €150,09

Відповідь

A = €150,09

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 959,4 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €22,50, i = 0,03, N = 6

Теперішня вартість купонів

€22,50·(1 − 0,8375)/0,03 = €121,89

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8375 = €837,48

Ціна

P = €959,37

Відповідь

P = €959,37

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 4,577 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 45/1,055 = 42,65, t·PV = 42,65

t = 2: 45/1,113 = 40,43, t·PV = 80,86

t = 3: 45/1,174 = 38,32, t·PV = 114,97

t = 4: 45/1,239 = 36,32, t·PV = 145,30

t = 5: 1045/1,307 = 799,57, t·PV = 3 997,83

Дюрація

P = 957,30

D = 4 381,61/957,30 = 4,577

Відповідь

D = 4,577 роки

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,743 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €7 000 000, E/V = 0,7143, D/V = 0,2857

WACC

WACC = 0,7143·8% + 0,2857·4,5%·(1 − 0,2) = 6,743%

Відповідь

WACC = 6,743%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 9,617 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

β_U = 0,9/(1 + 0,7·0,25) = 0,766

Перерахуйте за новим D/E

β_L = 0,766·(1 + 0,7·1,25) = 1,436

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 1% + 1,436·6% = 9,617%

Відповідь

r_e = 9,617%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 15020 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −45 000

CF₁/(1 + 0,07)¹ = 15 000/1,07 = 14 018,69

CF₂/(1 + 0,07)² = 20 000/1,145 = 17 468,77

CF₃/(1 + 0,07)³ = 20 000/1,225 = 16 325,96

CF₄/(1 + 0,07)⁴ = 16 000/1,311 = 12 206,32

Додайте

NPV = €15 019,75

Відповідь

NPV = €15 019,75

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 18,59 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(15%) = 2 249,53

NPV(20%) = −833,33

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 15 + 5·2 249,53/(2 249,53 − (−833,33)) = 18,65%

точно: NPV(18,59%) = 0 → IRR = 18,59%

Відповідь

IRR = 18,59%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation