Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Метод

  1. Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
  2. Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
  3. Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
  4. Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає

Метод

  1. Знайдіть купон за період і дохідність за період.
  2. Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
  3. Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
  4. Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

  1. Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
  2. Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
  3. Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
  4. Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня
періоди0123411 + EAR = ?16% / 4

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 16 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 16%m = 4
EAR = %
2.Вартість грошей у часіСкладна
місяці0123…360€200 000A?AAA

Кредит €200 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 30 років. Ставка — 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €200 0003% / 12N = 360
A = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
півроки0123…16€25€25€25 + €1 000P = ?

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 8 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 5%YTM = 8%n = 8
P = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
роки0123€1 137€70€70€70 + €1 070

Облігація з 13 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 7%) продається за €1 137. Емітент може достроково викупити її через 3 років за ціною викупу €1 070. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.

F = €1 000купон = 7%P = €1 137ціна викупу = €1 070дострокове погашення через 3 роки
YTC = %
5.CAPM і WACCСередня
WACC = ?прості акції€10 000 000re​ = 13%привілейовані акції€1 500 000rp​ = 6,5%борг€6 000 000rd​ = 6%T = 20%

Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €10 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу 13%, вартість привілейованого капіталу 6,5%, вартість боргу до оподаткування 6%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC.

E = €10 000 000Ps = €1 500 000D = €6 000 000re = 13%rp = 6,5%rd = 6%T = 20%
WACC = %
6.CAPM і WACCСкладна
rf​ = 1,5%, rm​ − rf​ = 4%D/E = 0,4власний капіталβL​ = 1,5боргD/E = 0,6власний капіталre​ = ?боргT = 30%

Акції компанії мають бету 1,5 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,6. Ставка податку 30%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.

βL = 1,5D/E1 = 0,4D/E2 = 0,6T = 30%rf = 1,5%rm − rf = 4%
re = %
7.NPV і IRRСередня
роки0123…9−500 00027 000+2%+2%…r = 8%, NPV = ?

Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €27 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 2 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C0 = €500 000CF1 = €27 000g = 2%r = 8%
NPV = €
8.NPV і IRRСкладна
роки0123−25 00016 50010 00011 500

Проєкт коштує €25 000 і приносить €16 500, €10 000, €11 500 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF0 = −25 000CF1 = 16 500CF2 = 10 000CF3 = 11 500
IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 16,99 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,16/4 = 0,04

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,04)4 − 1 = 1,17 − 1 = 16,99%

Відповідь

EAR = 16,99%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 843,2 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,03/12 = 0,0025
N = 12·30 = 360

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)−N = 0,407
A = 200 000·0,0025/(1 − 0,407) = €843,21

Відповідь

A = €843,21
3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 825,2 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €25,00, i = 0,04, N = 16

Теперішня вартість купонів

€25,00·(1 − 0,5339)/0,04 = €291,31

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,5339 = €533,91

Ціна

P = €825,22

Відповідь

P = €825,22

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTC = 4,274 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Рівняння для дохідності

1137 = 70·(1 − (1 + y)−3)/y + 1070/(1 + y)3

Чисельний розв’язок

y = 4%: €1 145,48
y = 5%: €1 114,93
YTC = 4,274%

Відповідь

YTC = 4,274%

Дохідність до погашення 5,498%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 9,631 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = 10 000 000 + 1 500 000 + 6 000 000 = €17 500 000
E/V = 0,5714, Ps/V = 0,08571, D/V = 0,3429

WACC

WACC = 0,5714·13% + 0,08571·6,5% + 0,3429·6%·(1 − 0,2) = 9,631%

Відповідь

WACC = 9,631%
6.CAPM і WACC

Відповідь: re = 8,156 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

βU = 1,5/(1 + 0,7·0,4) = 1,172

Перерахуйте за новим D/E

βL = 1,172·(1 + 0,7·0,6) = 1,664

Вартість власного капіталу (CAPM)

re = 1,5% + 1,664·4% = 8,156%

Відповідь

re = 8,156%
7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −50000 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 27 000/(0,08 − 0,02) = 450 000,00

NPV

NPV = 450 000,00 − 500 000 = −€50 000,00

Відповідь

NPV = −€50 000,00

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 26,42 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(25%) = 488,00
NPV(30%) = −1 156,12

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 25 + 5·488,00/(488,00 − (−1 156,12)) = 26,48%
точно: NPV(26,42%) = 0 → IRR = 26,42%

Відповідь

IRR = 26,42%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation