Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €10 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €10 000g = 1%r = 5%

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €150 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.

P = €150 0007,2% / 12N = 300

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 7 років. Її дохідність до погашення змінюється з 3% до 3,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 4%n = 7y₁ = 3%y₂ = 3,5%

ΔP = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з 14 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 7%) продається за €1 198. Емітент може достроково викупити її через 6 років за ціною викупу €1 070. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.

F = €1 000купон = 7%P = €1 198ціна викупу = €1 070дострокове погашення через 6 роки

YTC = %

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 1,25 має необхідну дохідність 12,75%. Безризикова ставка 4%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 1,25r_e = 12,75%r_f = 4%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 5 000 000 акцій по €45,50 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 020 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 4%, ставка податку — 21%. Бета акції — 1,1, безризикова ставка — 2,5%, ринкова дохідність — 8,5%. Знайдіть WACC.

β = 1,1r_f = 2,5%r_m = 8,5%r_d = 4%T = 21%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €50 000, служить 8 років, а його експлуатація коштує €3 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.

C₀ = €50 000M = €3 000n = 8r = 6%

EAC = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €80 000. Його грошовий потік становить €9 000 наприкінці року 1 і зростає на 4 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 9. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €80 000CF₁ = €9 000g = 4%n = 9r = 10%

NPV = €

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 250000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 10 000/(0,05 − 0,01) = 10 000/0,04 = €250 000,00

Відповідь

PV = €250 000,00

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 1079 €

Місячна ставка і кількість платежів

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·25 = 300

Платіж

Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.

(1 + i)^−N = 0,1662

A = 150 000·0,006/(1 − 0,1662) = €1 079,38

Відповідь

A = €1 079,38

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = −31,73 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €40,00, i = 0,03, N = 7

€40,00·(1 − 0,8131)/0,03 + €1 000·0,8131 = €249,21 + €813,09 = €1 062,30

Ціна за нової дохідності

C = €40,00, i = 0,035, N = 7

€40,00·(1 − 0,786)/0,035 + €1 000·0,786 = €244,58 + €785,99 = €1 030,57

Зміна

ΔP = 1 030,57 − 1 062,30 = −€31,73

Відповідь

ΔP = −€31,73

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTC = 4,242 %

Рівняння для дохідності

1198 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁶)/y + 1070/(1 + y)⁶

Чисельний розв’язок

y = 4%: €1 212,59

y = 5%: €1 153,75

YTC = 4,242%

Відповідь

YTC = 4,242%

Дохідність до погашення 5%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 11 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (12,75% − 4%)/1,25 = 7%

Ринкова дохідність

r_m = 4% + 7% = 11%

Відповідь

r_m = 11%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,97 %

Ринкові вартості

E = 5 000 000·€45,50 = €227 500 000

D = 5 000·€1 020 = €5 100 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2,5% + 1,1·6% = 9,1%

Ваги

V = €232 600 000, E/V = 0,9781, D/V = 0,02193

WACC

WACC = 0,9781·9,1% + 0,02193·4%·(1 − 0,21) = 8,97%

Відповідь

WACC = 8,97%

7.NPV і IRR

Відповідь: EAC = 11052 €

Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − 1,06⁻⁸)/0,06 = 6,21

Ціна придбання, перерахована на рік

50 000/6,21 = 8 051,80

EAC

EAC = 8 051,80 + 3 000 = €11 051,80

Відповідь

EAC = €11 051,80

8.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −20543 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,04)/(1,1))⁹ = 0,6036

PV = 9 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,6036) = 59 456,53

NPV

NPV = 59 456,53 − 80 000 = −€20 543,47

Відповідь

NPV = −€20 543,47

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation