У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 4,8 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 7 років.
PV = €2 0004,8% / 12n = 7
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €200 000 погашається рівними щомісячними платежами протягом 25 років. Ставка — 2,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний платіж A.
P = €200 0002,4% / 12N = 300
A = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 10 років. Дохідність до погашення — 7% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 7%n = 10
P = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація з 16 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 8%) продається за €1 094. Емітент може достроково викупити її через 5 років за ціною викупу €1 080. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.
F = €1 000купон = 8%P = €1 094ціна викупу = €1 080дострокове погашення через 5 роки
YTC = %
5.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 30%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,25. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,5. Ставка податку 20%, безризикова ставка 1,5%, ринкова премія за ризик 5,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Верстат коштує сьогодні €30 000. Він приносить €7 500 наприкінці кожного року протягом 4 років, а потім його можна продати за €7 500. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €30 000CF = €7 500S = €7 500n = 4r = 10%
NPV = €
8.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €10 000, €10 000, €14 000 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Місячна ставка і кількість платежів
i = 0,024/12 = 0,002
N = 12·25 = 300
Платіж
Теперішня вартість N однакових платежів A дорівнює A·(1 − (1 + i)⁻ᴺ)/i. Прирівняйте її до кредиту і знайдіть A.
(1 + i)−N = 0,5491
A = 200 000·0,002/(1 − 0,5491) = €887,19
Відповідь
A = €887,19
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 857,9 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,035, N = 20
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,5026)/0,035 = €355,31
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,5026 = €502,57
Ціна
P = €857,88
Відповідь
P = €857,88
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
4.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTC = 7,09 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
1094 = 80·(1 − (1 + y)−5)/y + 1080/(1 + y)5
Чисельний розв’язок
y = 7%: €1 098,04
y = 8%: €1 054,45
YTC = 7,09%
Відповідь
YTC = 7,09%
Дохідність до погашення 7,005%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.
5.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 7,075 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €4 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5
WACC
WACC = 0,5·11% + 0,5·4,5%·(1 − 0,3) = 7,075%
Відповідь
WACC = 7,075%
6.CAPM і WACC
Відповідь: re = 12,59 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,1/(1 + 0,8·0,25) = 0,9167
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,9167·(1 + 0,8·1,5) = 2,017
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 1,5% + 2,017·5,5% = 12,59%
Відповідь
re = 12,59%
7.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −1103 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість щорічних грошових потоків
7 500·3,17 = 23 773,99
Теперішня вартість ліквідаційної вартості
7 500/1,464 = 5 122,60
NPV
NPV = −30 000 + 23 773,99 + 5 122,60 = −€1 103,41
Відповідь
NPV = −€1 103,41
8.NPV і IRR
Відповідь: MIRR = 12,75 %
Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.