Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під 6 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 13 років.

PV = €5 000r = 6%t = 13

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €150 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 4,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 24? Знайдіть залишок боргу B.

P = €150 0004,2% / 12N = 360k = 288

B = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 9 років. Її дохідність до погашення змінюється з 3,5% до 4,5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 2%n = 9y₁ = 3,5%y₂ = 4,5%

ΔP = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 8 років і продається за €1 125. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 8%n = 8P = €1 125

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,6. Вартість власного капіталу 10%, вартість боргу до оподаткування 3,5%, а ставка податку 21%. Знайдіть WACC.

D/E = 0,6r_e = 10%r_d = 3,5%T = 21%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,9. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 1,5. Ставка податку 21%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 6,5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e за нової структури капіталу.

β_U = 0,9D/E = 1,5T = 21%r_f = 4%r_m − r_f = 6,5%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €30 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €9 000, €10 000, €14 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 9 000CF₂ = 10 000CF₃ = 14 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €36 500, €24 000, €23 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −50 000CF₁ = 36 500CF₂ = 24 000CF₃ = 23 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 10907 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,06·13 = 0,78

e^0,78 = 2,181

Майбутня вартість

FV = 5 000·2,181 = €10 907,36

Відповідь

FV = €10 907,36

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 46613 €

Щомісячний платіж

i = 0,0035, N = 360

A = 150 000·0,0035/(1 − (1 + 0,0035)⁻³⁶⁰) = €733,53

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 360 − 288 = 72

B = 733,5·(1 − (1 + 0,0035)⁻⁷²)/0,0035 = €46 613,09

Відповідь

B = €46 613,09

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = −67,6 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €20,00, i = 0,035, N = 9

€20,00·(1 − 0,7337)/0,035 + €1 000·0,7337 = €152,15 + €733,73 = €885,88

Ціна за нової дохідності

C = €20,00, i = 0,045, N = 9

€20,00·(1 − 0,6729)/0,045 + €1 000·0,6729 = €145,38 + €672,90 = €818,28

Зміна

ΔP = 818,28 − 885,88 = −€67,60

Відповідь

ΔP = −€67,60

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 5,988 %

Рівняння для дохідності

€1 125 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Чисельний розв’язок

P(5%) = €1 193,90, P(6%) = €1 124,20

YTM = 5,988%

Відповідь

YTM = 5,988%

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,287 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги з D/E

E/V = 1/(1 + 0,6) = 0,625

D/V = 0,6/(1 + 0,6) = 0,375

WACC

WACC = 0,625·10% + 0,375·3,5%·(1 − 0,21) = 7,287%

Відповідь

WACC = 7,287%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 16,78 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Бета з урахуванням боргу

β_L = 0,9·(1 + 0,79·1,5) = 1,967

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 4% + 1,967·6,5% = 16,78%

Відповідь

r_e = 16,78%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −4027 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −30 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 9 000/1,12 = 8 035,71

CF₂/(1 + 0,12)² = 10 000/1,254 = 7 971,94

CF₃/(1 + 0,12)³ = 14 000/1,405 = 9 964,92

Додайте

NPV = €−4 027,42

Відповідь

NPV = €−4 027,42

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 34,27 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(30%) = 2 746,93

NPV(35%) = −446,07

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 30 + 5·2 746,93/(2 746,93 − (−446,07)) = 34,3%

точно: NPV(34,27%) = 0 → IRR = 34,27%

Відповідь

IRR = 34,27%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation