Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €3 000 під номінальну ставку 2 % річних із капіталізацією щоквартальною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 5 років.

PV = €3 0002% / 4n = 5

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €250 наприкінці кожного місяця протягом 29 років. Рахунок дає 3 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €2503% / 12N = 348

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 2%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 6% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 2%YTM = 6%n = 7

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 8% погашається через 5 років і продається за €940. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 8%n = 5P = €940

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €1 000 000. Її WACC 10,65%, вартість боргу до оподаткування 4,5%, а ставка податку 20%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €3 000 000D = €1 000 000WACC = 10,65%r_d = 4,5%T = 20%

r_e = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має 1 000 000 акцій, що торгуються за €16,00; балансова вартість її власного капіталу €9 600 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,30 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €9 600 000 і вартість до оподаткування 6%. Ставка податку 25%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 1 000 000P₀ = €16,00балансовий власний капітал = €9 600 000D₀ = €1,30g = 5%D = €9 600 000r_d = 6%T = 25%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €75 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €36 000, €37 000, €19 000, €19 000. Вартість капіталу — 15 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 15%CF₀ = −75 000CF₁ = 36 000CF₂ = 37 000CF₃ = 19 000CF₄ = 19 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €25 000 і приносить €14 500, €9 500, €11 500, €9 000 наприкінці років з 1 по 4. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 10 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 10%CF₀ = −25 000CF₁ = 14 500CF₂ = 9 500CF₃ = 11 500CF₄ = 9 000

MIRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 3315 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,02/4 = 0,005

N = m·n = 4·5 = 20

Майбутня вартість

FV = 3 000·(1 + 0,005)²⁰ = 3 000·1,105 = €3 314,69

Відповідь

FV = €3 314,69

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 138432 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,03/12 = 0,0025

N = 12·29 = 348

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 250·(2,384 − 1)/0,0025 = €138 432,08

Відповідь

FV = €138 432,08

Самі ви внесли €87 000; решта — відсотки.

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 774,1 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €10,00, i = 0,03, N = 14

Теперішня вартість купонів

€10,00·(1 − 0,6611)/0,03 = €112,96

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,6611 = €661,12

Ціна

P = €774,08

Відповідь

P = €774,08

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 9,565 %

Рівняння для дохідності

€940 = €80·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + €1 000/(1 + y)⁵

Чисельний розв’язок

P(9%) = €961,10, P(10%) = €924,18

YTM = 9,565%

Відповідь

YTM = 9,565%

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 13 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €4 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25

Частка боргу у WACC

0,25·4,5%·(1 − 0,2) = 0,9%

Вартість власного капіталу

r_e = (10,65% − 0,9%)/0,75 = 13%

Відповідь

r_e = 13%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 10,14 %

Вартість власного капіталу

D₁ = 1,3·1,05 = €1,37

r_e = 1,365/16 + 0,05 = 13,53%

Ринкові вартості

E = 1 000 000·€16,00 = €16 000 000

V = €25 600 000, E/V = 0,625, D/V = 0,375

WACC

WACC = 0,625·13,53% + 0,375·6%·(1 − 0,25) = 10,14%

Відповідь

WACC = 10,14%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 7638 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −75 000

CF₁/(1 + 0,15)¹ = 36 000/1,15 = 31 304,35

CF₂/(1 + 0,15)² = 37 000/1,322 = 27 977,32

CF₃/(1 + 0,15)³ = 19 000/1,521 = 12 492,81

CF₄/(1 + 0,15)⁴ = 19 000/1,749 = 10 863,31

Додайте

NPV = €7 637,78

Відповідь

NPV = €7 637,78

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 20,35 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

14 500·1,1³ = 19 299,50

9 500·1,1² = 11 495,00

11 500·1,1¹ = 12 650,00

9 000·1,1⁰ = 9 000,00

TV = 52 444,50

MIRR

MIRR = (52 444,50/25 000)^1/4 − 1 = 20,35%

Відповідь

MIRR = 20,35%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation