У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Через 8 років вам потрібно €20 000. Рахунок дає 4,8 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.
FV = €20 0004,8% / 4n = 8
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Ви вносите €3 000 на початку кожного року протягом 18 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 6 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 18? Знайдіть FV.
A = €3 000i = 6%n = 18
FV = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 6% і погашається через 6 років. Її дохідність до погашення змінюється з 4% до 5%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?
F = €1 000купон = 6%n = 6y1 = 4%y2 = 5%
ΔP = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація торгується за €900 з дохідністю до погашення 5% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 9,5 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 50 базисних пунктів.
P0 = €900y = 5%D = 9,5Δy = +50 bp
P = €
5.CAPM і WACCСередня
У компанії власний капітал вартістю €6 000 000 і борг вартістю €2 000 000. Вартість власного капіталу — 13%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 20%. Знайдіть WACC.
Акції компанії мають бету 1,5 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 0,75. Ставка податку 25%, безризикова ставка 2,5%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Верстат коштує сьогодні €50 000, служить 10 років, а його експлуатація коштує €2 000 на рік (сплачується наприкінці кожного року). Вартість капіталу — 5 %. Знайдіть його еквівалентні річні витрати EAC.
C0 = €50 000M = €2 000n = 10r = 5%
EAC = €
8.NPV і IRRСкладна
Проєкт коштує €25 000 і приносить €13 000, €18 500, €14 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.
CF0 = −25 000CF1 = 13 000CF2 = 18 500CF3 = 14 000
IRR = %
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 13654 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Ставка і кількість періодів
i = 0,048/4 = 0,012
N = 4·8 = 32
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)N = 20 000/1,465 = €13 653,80
Відповідь
PV = €13 653,80
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: FV = 98280 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт звичайного ануїтету
((1 + 0,06)18 − 1)/0,06 = 30,91
Пренумерандо-ануїтет
Кожен внесок інвестовано на один рік довше.
FV = 3 000·30,91·1,06 = €98 279,98
Відповідь
FV = €98 279,98
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: ΔP = −54,09 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.
Модифікована дюрація
Dmod = 9,5/1,05 = 9,048
Оцінена зміна ціни
%ΔP ≈ −9,048·(0,005) = −4,524%
P ≈ 900·(1 − 0,04524) = €859,29
Відповідь
P = €859,29
Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.
5.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 10,75 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги
V = €8 000 000, E/V = 0,75, D/V = 0,25
WACC
WACC = 0,75·13% + 0,25·5%·(1 − 0,2) = 10,75%
Відповідь
WACC = 10,75%
6.CAPM і WACC
Відповідь: re = 9,712 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,5/(1 + 0,75·0,4) = 1,154
Перерахуйте за новим D/E
βL = 1,154·(1 + 0,75·0,75) = 1,803
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 2,5% + 1,803·4% = 9,712%
Відповідь
re = 9,712%
7.NPV і IRR
Відповідь: EAC = 8475 €
Еквівалентні річні витрати: розподіліть теперішню вартість усіх витрат на строк служби як однакову щорічну суму (ануїтет): EAC = PV·r/(1 − (1 + r)⁻ⁿ). Це дає змогу порівнювати верстати з різним строком служби.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − 1,05−10)/0,05 = 7,722
Ціна придбання, перерахована на рік
50 000/7,722 = 6 475,23
EAC
EAC = 6 475,23 + 2 000 = €8 475,23
Відповідь
EAC = €8 475,23
8.NPV і IRR
Відповідь: IRR = 36,37 %
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Обмежте IRR з обох боків
NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.
NPV(35%) = 470,71
NPV(40%) = −1 173,47
Звужуйте
Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.