У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.
1Формули та методи
Вартість грошей у часі
Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i
Метод
Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.
Ціна й дохідність облігацій
Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає
Метод
Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.
CAPM і WACC
CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D
NPV і IRR
Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)
Метод
Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.
2Задачі для практики
1.Вартість грошей у часіСередня
Ануїтет виплачує €8 000 наприкінці кожного року протягом 10 років. Процентна ставка 3 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.
A = €8 000i = 3%n = 10
PV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
Кредит €20 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 4 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?
P = €20 0004,8% / 12N = 48
I = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 5%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 9 років. Дохідність до погашення — 8% річних. Знайдіть ціну облігації P.
F = €1 000купон = 5%YTM = 8%n = 9
P = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 5% погашається через 7 років і продається за €1 125. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.
F = €1 000купон = 5%n = 7P = €1 125
YTM = %
5.CAPM і WACCСередня
Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 1. Вартість власного капіталу 12%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 28%. Знайдіть WACC.
D/E = 1re = 12%rd = 6%T = 28%
WACC = %
6.CAPM і WACCСкладна
Акції компанії мають бету 1,1 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,4. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1. Ставка податку 20%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 4,5%. Знайдіть вартість власного капіталу re після зміни.
Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €17 000, €18 500, €17 000, €15 500, €15 000, €13 500 наприкінці років з 1 по 6. Вартість капіталу — 12 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.
Проєкт коштує сьогодні €50 000. Його грошовий потік становить €8 000 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 7. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.
C0 = €50 000CF1 = €8 000g = 3%n = 7r = 12%
NPV = €
3Розчини
1.Вартість грошей у часі
Відповідь: PV = 68242 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Коефіцієнт ануїтету
(1 − (1 + i)−n)/i = (1 − 0,7441)/0,03 = 8,53
Теперішня вартість
PV = 8 000·8,53 = €68 241,62
Відповідь
PV = €68 241,62
2.Вартість грошей у часі
Відповідь: I = 2021 €
Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.
Щомісячний платіж
i = 0,004, N = 48
A = 20 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)−48) = €458,78
Усього відсотків
I = N·A − P = 48·458,8 − 20 000 = €2 021,25
Відповідь
I = €2 021,25
3.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: P = 810,1 €
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
За період
C = €25,00, i = 0,04, N = 18
Теперішня вартість купонів
€25,00·(1 − 0,4936)/0,04 = €316,48
Теперішня вартість номіналу
€1 000·0,4936 = €493,63
Ціна
P = €810,11
Відповідь
P = €810,11
Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.
4.Ціна й дохідність облігацій
Відповідь: YTM = 2,994 %
Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.
Рівняння для дохідності
€1 125 = €50·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷
Чисельний розв’язок
P(2%) = €1 194,16, P(3%) = €1 124,61
YTM = 2,994%
Відповідь
YTM = 2,994%
5.CAPM і WACC
Відповідь: WACC = 8,16 %
Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).
Ваги з D/E
E/V = 1/(1 + 1) = 0,5
D/V = 1/(1 + 1) = 0,5
WACC
WACC = 0,5·12% + 0,5·6%·(1 − 0,28) = 8,16%
Відповідь
WACC = 8,16%
6.CAPM і WACC
Відповідь: re = 10,25 %
Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. βL = βU·(1 + (1 − T)·D/E), де βU — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.
Звільніть бету від впливу боргу
βU = 1,1/(1 + 0,8·0,4) = 0,8333
Перерахуйте за новим D/E
βL = 0,8333·(1 + 0,8·1) = 1,5
Вартість власного капіталу (CAPM)
re = 3,5% + 1,5·4,5% = 10,25%
Відповідь
re = 10,25%
7.NPV і IRR
Відповідь: DPB = 3,809 роки
Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.
Дисконтовані й накопичені грошові потоки
рік 1: 17 000/1,12 = 15 178,57 → Σ = 15 178,57
рік 2: 18 500/1,254 = 14 748,09 → Σ = 29 926,66
рік 3: 17 000/1,405 = 12 100,26 → Σ = 42 026,92
рік 4: 15 500/1,574 = 9 850,53 → Σ = 51 877,45
Частка останнього року
DPB = 3 + 7 973,08/9 850,53 = 3,809
Відповідь
DPB = 3,809 роки
Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (2,853 років).
8.NPV і IRR
Відповідь: NPV = −10563 €
Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.
Теперішня вартість ануїтету, що зростає
((1,03)/(1,12))7 = 0,5563
PV = 8 000/(0,12 − 0,03)·(1 − 0,5563) = 39 437,11
NPV
NPV = 39 437,11 − 50 000 = −€10 562,89
Відповідь
NPV = −€10 562,89
NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.