Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачіНазад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість
FV = PV·(1 + i)n
Теперішня вартість
PV = FV/(1 + i)n
Кілька періодів на рік
i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість
PV = PMT·[1 − (1 + i)−n]/i
Ануїтет, майбутня вартість
FV = PMT·[(1 + i)n − 1]/i

Метод

  1. Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
  2. Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
  3. Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
  4. Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації
P = C·(1 − (1 + y)−n)/y + F/(1 + y)n
Піврічні купони
C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність
C/P
Ціна й дохідність
дохідність зростає → ціна падає

Метод

  1. Знайдіть купон за період і дохідність за період.
  2. Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
  3. Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
  4. Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM
re = rf + β·(rm − rf)
WACC
E/V·re + D/V·rd·(1 − T)
Вартість компанії
V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість
NPV = −C0 + Σ CFt/(1 + r)t
Рівні грошові потоки
NPV = −C0 + CF·[1 − (1 + r)−n]/r
Внутрішня норма дохідності
r, за якої NPV = 0
Рішення
приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

  1. Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
  2. Дисконтуйте кожен грошовий потік: CFt/(1 + r)t.
  3. Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
  4. Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня
роки012345€20 000FV = ?

Ви інвестуєте €20 000 під 4 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 5 років.

PV = €20 000r = 4%t = 5
FV = €
2.Вартість грошей у часіСкладна
місяці0123…240€200 000AAAA3% / 12, I = ?

Кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 20 років під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €200 0003% / 12N = 240
I = €
3.Ціна й дохідність облігаційСередня
півроки0123456€35€35€35 + €1 000P = ?

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 3% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 3%n = 3
P = €
4.Ціна й дохідність облігаційСкладна
роки01234P€70€70€70 + €1 000

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% і погашається через 4 років. Дохідність до погашення 8%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 7%n = 4YTM = 8%
D = роки
5.CAPM і WACCСередня
WACC = ?прості акції€4 000 000re​ = 9%привілейовані акції€2 000 000rp​ = 6,5%борг€6 000 000rd​ = 3%T = 21%

Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €4 000 000, привілейованими акціями вартістю €2 000 000 і боргом вартістю €6 000 000. Вартість власного капіталу 9%, вартість привілейованого капіталу 6,5%, вартість боргу до оподаткування 3%. Ставка податку 21%. Знайдіть WACC.

E = €4 000 000Ps = €2 000 000D = €6 000 000re = 9%rp = 6,5%rd = 3%T = 21%
WACC = %
6.CAPM і WACCСкладна
WACC = ?власний капітал2 000 000 × €54,00D0​ = €3,00g = 3%борг€32 400 000rd​ = 5%T = 25,8%

Компанія має 2 000 000 акцій, що торгуються за €54,00; балансова вартість її власного капіталу €64 800 000. Вона щойно виплатила дивіденд €3,00 на акцію, і дивіденди зростають на 3% на рік. Її борг має ринкову вартість €32 400 000 і вартість до оподаткування 5%. Ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 2 000 000P0 = €54,00балансовий власний капітал = €64 800 000D0 = €3,00g = 3%D = €32 400 000rd = 5%T = 25,8%
WACC = %
7.NPV і IRRСередня
роки012345−60 00020 00020 00020 00020 00020 000

Проєкт коштує сьогодні €60 000 і приносить €20 000 наприкінці кожного року протягом 5 років. Вартість капіталу — 10 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 10%CF0 = −60 000CF1 = 20 000CF2 = 20 000CF3 = 20 000CF4 = 20 000CF5 = 20 000
DPB = роки
8.NPV і IRRСкладна
роки0123−25 0009 0009 0009 000

Інвестиція €25 000 приносить €9 000 наприкінці кожного року протягом 3 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C0 = €25 000CF = €9 000n = 3
IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 24428 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,04·5 = 0,2
e0,2 = 1,221

Майбутня вартість

FV = 20 000·1,221 = €24 428,06

Відповідь

FV = €24 428,06
2.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 66207 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)n. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Щомісячний платіж

i = 0,0025, N = 240
A = 200 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)−240) = €1 109,20

Усього відсотків

I = N·A − P = 240·1109 − 200 000 = €66 206,85

Відповідь

I = €66 206,85
3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1114 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €35,00, i = 0,015, N = 6

Теперішня вартість купонів

€35,00·(1 − 0,9145)/0,015 = €199,40

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,9145 = €914,54

Ціна

P = €1 113,94

Відповідь

P = €1 113,94

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 3,617 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −Dmod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 70/1,08 = 64,81, t·PV = 64,81
t = 2: 70/1,166 = 60,01, t·PV = 120,03
t = 3: 70/1,26 = 55,57, t·PV = 166,70
t = 4: 1070/1,36 = 786,48, t·PV = 3 145,93

Дюрація

P = 966,88
D = 3 497,47/966,88 = 3,617

Відповідь

D = 3,617 роки
5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 5,268 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = 4 000 000 + 2 000 000 + 6 000 000 = €12 000 000
E/V = 0,3333, Ps/V = 0,1667, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,3333·9% + 0,1667·6,5% + 0,5·3%·(1 − 0,21) = 5,268%

Відповідь

WACC = 5,268%
6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,566 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: re = rf + β·(rm − rf). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·re + D/V·rd·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Вартість власного капіталу

D1 = 3·1,03 = €3,09
re = 3,09/54 + 0,03 = 8,722%

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€54,00 = €108 000 000
V = €140 400 000, E/V = 0,7692, D/V = 0,2308

WACC

WACC = 0,7692·8,722% + 0,2308·5%·(1 − 0,258) = 7,566%

Відповідь

WACC = 7,566%
7.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 3,751 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 20 000/1,1 = 18 181,82 → Σ = 18 181,82
рік 2: 20 000/1,21 = 16 528,93 → Σ = 34 710,74
рік 3: 20 000/1,331 = 15 026,30 → Σ = 49 737,04
рік 4: 20 000/1,464 = 13 660,27 → Σ = 63 397,31

Частка останнього року

DPB = 3 + 10 262,96/13 660,27 = 3,751

Відповідь

DPB = 3,751 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (3 років).

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 3,949 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)−3)/i = 25 000/9 000 = 2,778

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 3%: 2,829
i = 4%: 2,775
IRR = 3,949%

Відповідь

IRR = 3,949%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation