Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €2 000 під номінальну ставку 3,6 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть вартість FV інвестиції через 6 років.

PV = €2 0003,6% / 12n = 6

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви хочете мати €30 000 через 19 років. Ви відкладаєте однакову суму наприкінці кожного місяця на рахунок, що дає 5,4 % річних зі щомісячною капіталізацією. Знайдіть щомісячний внесок A.

FV = €30 0005,4% / 12N = 228

A = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 11 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 4%YTM = 9%n = 11

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 7 років і продається за €1 100. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 3%n = 7P = €1 100

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 1,4 має необхідну дохідність 8,1%. Безризикова ставка 2,5%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 1,4r_e = 8,1%r_f = 2,5%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,6. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,75. Ставка податку 28%, безризикова ставка 4%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e за нової структури капіталу.

β_U = 0,6D/E = 0,75T = 28%r_f = 4%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €80 000. Він приносить €20 000 наприкінці кожного року протягом 4 років, а потім його можна продати за €20 000. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €80 000CF = €20 000S = €20 000n = 4r = 10%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €13 000, €10 500, €11 000 наприкінці років з 1 по 3. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 13 000CF₂ = 10 500CF₃ = 11 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 2481 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = r/m = 0,036000000000000004/12 = 0,003

N = m·n = 12·6 = 72

Майбутня вартість

FV = 2 000·(1 + 0,003)⁷² = 2 000·1,241 = €2 481,40

Відповідь

FV = €2 481,40

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: A = 75,7 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·19 = 228

Внесок

A = FV·i/((1 + i)^N − 1) = 30 000·0,0045/(2,783 − 1) = €75,70

Відповідь

A = €75,70

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 655,4 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €20,00, i = 0,045, N = 22

Теперішня вартість купонів

€20,00·(1 − 0,3797)/0,045 = €275,69

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,3797 = €379,70

Ціна

P = €655,39

Відповідь

P = €655,39

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 1,485 %

Рівняння для дохідності

€1 100 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + €1 000/(1 + y)⁷

Чисельний розв’язок

P(1%) = €1 134,56, P(2%) = €1 064,72

YTM = 1,485%

Відповідь

YTM = 1,485%

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 6,5 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (8,1% − 2,5%)/1,4 = 4%

Ринкова дохідність

r_m = 2,5% + 4% = 6,5%

Відповідь

r_m = 6,5%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 7,696 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Бета з урахуванням боргу

β_L = 0,6·(1 + 0,72·0,75) = 0,924

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 4% + 0,924·4% = 7,696%

Відповідь

r_e = 7,696%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −2942 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

20 000·3,17 = 63 397,31

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

20 000/1,464 = 13 660,27

NPV

NPV = −80 000 + 63 397,31 + 13 660,27 = −€2 942,42

Відповідь

NPV = −€2 942,42

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 34,46 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(30%) = 1 219,85

NPV(35%) = −138,19

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 30 + 5·1 219,85/(1 219,85 − (−138,19)) = 34,49%

точно: NPV(34,46%) = 0 → IRR = 34,46%

Відповідь

IRR = 34,46%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation