Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 20 % річних із капіталізацією піврічною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 20%m = 2

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Кредит €15 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 4 років під 3 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки відсотків I сплачено загалом за весь строк кредиту?

P = €15 0003% / 12N = 48

I = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 8%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 12 років. Дохідність до погашення — 5% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 8%YTM = 5%n = 12

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 075 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 7,9 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 75 базисних пунктів.

P₀ = €1 075y = 7%D = 7,9Δy = −75 bp

P = €

5.CAPM і WACCСередня

Співвідношення боргу та власного капіталу компанії (за ринковою вартістю) становить 0,25. Вартість власного капіталу 13%, вартість боргу до оподаткування 5%, а ставка податку 25,8%. Знайдіть WACC.

D/E = 0,25r_e = 13%r_d = 5%T = 25,8%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має власний капітал ринковою вартістю €5 000 000 і вартістю власного капіталу 9%. Її борг складається з 5 000 облігацій (номінал €1 000, річний купон 7%, 7 років до погашення), кожна з яких торгується за €1 027. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC, узявши дохідність облігацій до погашення як вартість боргу до оподаткування.

E = €5 000 000r_e = 9%облігації: 5 000 × €1 027купон = 7%n = 7T = 28%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €60 000. Він приносить €12 000 наприкінці кожного року протягом 7 років, а потім його можна продати за €6 000. Вартість капіталу — 6 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €60 000CF = €12 000S = €6 000n = 7r = 6%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €23 500, €21 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −40 000CF₁ = 23 500CF₂ = 21 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 21 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,2/2 = 0,1

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,1)² − 1 = 1,21 − 1 = 21%

Відповідь

EAR = 21%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: I = 936,7 €

Щомісячний платіж

i = 0,0025, N = 48

A = 15 000·0,0025/(1 − (1 + 0,0025)⁻⁴⁸) = €332,01

Усього відсотків

I = N·A − P = 48·332 − 15 000 = €936,72

Відповідь

I = €936,72

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1268 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €40,00, i = 0,025, N = 24

Теперішня вартість купонів

€40,00·(1 − 0,5529)/0,025 = €715,40

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,5529 = €552,88

Ціна

P = €1 268,27

Відповідь

P = €1 268,27

Дохідність нижча за купонну ставку, тож облігація продається з премією.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1135 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 7,9/1,07 = 7,383

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −7,383·(−0,0075) = 5,537%

P ≈ 1075·(1 + 0,05537) = €1 134,53

Відповідь

P = €1 134,53

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 11,14 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги з D/E

E/V = 1/(1 + 0,25) = 0,8

D/V = 0,25/(1 + 0,25) = 0,2

WACC

WACC = 0,8·13% + 0,2·5%·(1 − 0,258) = 11,14%

Відповідь

WACC = 11,14%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,814 %

Вартість боргу (YTM)

1027 = 70·(1 − (1 + y)⁻⁷)/y + 1000/(1 + y)⁷

y = 6,508%

Ринкові вартості

D = 5 000·€1 027 = €5 135 000

V = €10 135 000, E/V = 0,4933, D/V = 0,5067

WACC

WACC = 0,4933·9% + 0,5067·6,508%·(1 − 0,28) = 6,814%

Відповідь

WACC = 6,814%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 10979 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

12 000·5,582 = 66 988,58

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

6 000/1,504 = 3 990,34

NPV

NPV = −60 000 + 66 988,58 + 3 990,34 = €10 978,92

Відповідь

NPV = €10 978,92

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 7,56 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(5%) = 1 428,57

NPV(10%) = −1 280,99

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 5 + 5·1 428,57/(1 428,57 − (−1 280,99)) = 7,636%

точно: NPV(7,56%) = 0 → IRR = 7,56%

Відповідь

IRR = 7,56%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation