Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ви інвестуєте €5 000 під 7 % річних із неперервною капіталізацією. Знайдіть вартість FV через 15 років.

PV = €5 000r = 7%t = 15

FV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 4,8 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 17? Знайдіть залишок боргу B.

P = €200 0004,8% / 12N = 360k = 204

B = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Ви купуєте облігацію з 10 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%), коли її дохідність до погашення становить 4%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.

F = €1 000купон = 6%n = 10y₀ = 4%y₁ = 5%

HPR = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація номіналом €1 000 з річним купоном 3% погашається через 8 років і продається за €870. Знайдіть її дохідність до погашення YTM у відсотках.

F = €1 000купон = 3%n = 8P = €870

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 0,8 має необхідну дохідність 5,4%. Безризикова ставка 1%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 0,8r_e = 5,4%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

Акції компанії мають бету 1,4 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,5. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,25. Ставка податку 21%, безризикова ставка 2%, ринкова премія за ризик 4%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e після зміни.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,5D/E₂ = 1,25T = 21%r_f = 2%r_m − r_f = 4%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 3 такі грошові потоки: €25 000, €13 000, €24 000. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 8%CF₀ = −60 000CF₁ = 25 000CF₂ = 13 000CF₃ = 24 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Інвестиція €25 000 приносить €3 500 наприкінці кожного року протягом 9 років. Знайдіть її внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

C₀ = €25 000CF = €3 500n = 9

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 14288 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Показник степеня

r·t = 0,07·15 = 1,05

e^1,05 = 2,858

Майбутня вартість

FV = 5 000·2,858 = €14 288,26

Відповідь

FV = €14 288,26

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 121601 €

Щомісячний платіж

i = 0,004, N = 360

A = 200 000·0,004/(1 − (1 + 0,004)⁻³⁶⁰) = €1 049,33

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 360 − 204 = 156

B = 1049·(1 − (1 + 0,004)⁻¹⁵⁶)/0,004 = €121 600,57

Відповідь

B = €121 600,57

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: HPR = −2,679 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна купівлі

C = €60,00, i = 0,04, N = 10

€60,00·(1 − 0,6756)/0,04 + €1 000·0,6756 = €486,65 + €675,56 = €1 162,22

Ціна продажу

C = €60,00, i = 0,05, N = 9

€60,00·(1 − 0,6446)/0,05 + €1 000·0,6446 = €426,47 + €644,61 = €1 071,08

Дохідність за період володіння

HPR = (60 + 1 071,08 − 1 162,22)/1 162,22 = −2,679%

Відповідь

HPR = −2,679%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 5,012 %

Рівняння для дохідності

€870 = €30·(1 − (1 + y)⁻⁸)/y + €1 000/(1 + y)⁸

Чисельний розв’язок

P(5%) = €870,74, P(6%) = €813,71

YTM = 5,012%

Відповідь

YTM = 5,012%

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 6,5 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (5,4% − 1%)/0,8 = 5,5%

Ринкова дохідність

r_m = 1% + 5,5% = 6,5%

Відповідь

r_m = 6,5%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 9,978 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

β_U = 1,4/(1 + 0,79·0,5) = 1,004

Перерахуйте за новим D/E

β_L = 1,004·(1 + 0,79·1,25) = 1,995

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 1,995·4% = 9,978%

Відповідь

r_e = 9,978%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −6654 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,08)¹ = 25 000/1,08 = 23 148,15

CF₂/(1 + 0,08)² = 13 000/1,166 = 11 145,40

CF₃/(1 + 0,08)³ = 24 000/1,26 = 19 051,97

Додайте

NPV = €−6 654,47

Відповідь

NPV = €−6 654,47

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 4,89 %

Потрібний коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻⁹)/i = 25 000/3 500 = 7,143

Знайдіть ставку

Коефіцієнт ануїтету зменшується зі зростанням ставки; знайдіть інтервал, у якому лежить ставка, і звужуйте його.

i = 4%: 7,435

i = 5%: 7,108

IRR = 4,89%

Відповідь

IRR = 4,89%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation