Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 17,5 % річних із капіталізацією щомісячною. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 17,5%m = 12

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €500 наприкінці кожного місяця протягом 21 років. Рахунок дає 5,4 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €5005,4% / 12N = 252

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 4% і погашається через 12 років. Її дохідність до погашення змінюється з 6% до 7%. На скільки ΔP змінюється ціна облігації?

F = €1 000купон = 4%n = 12y₁ = 6%y₂ = 7%

ΔP = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 8% і погашається через 6 років. Дохідність до погашення 7%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 8%n = 6YTM = 7%

D = роки

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €2 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 11%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 4,5%, ставка податку — 28%. Знайдіть WACC.

E = €2 000 000D = €3 000 000r_e = 11%r_d = 4,5%T = 28%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 4 000 000 акцій по €49,50 за штуку та 20 000 облігацій ринковою вартістю €1 050 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 5%, ставка податку — 25%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 3,5%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.

β = 0,9r_f = 3,5%r_m = 9%r_d = 5%T = 25%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €20 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €5 000, €8 000, €8 000, €5 000. Вартість капіталу — 9 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 9%CF₀ = −20 000CF₁ = 5 000CF₂ = 8 000CF₃ = 8 000CF₄ = 5 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт A коштує €10 000 і приносить €6 000, €4 000, €2 500 наприкінці років з 1 по 3. Проєкт B коштує €12 000 і приносить €4 000, €5 500, €6 000. Знайдіть точку Фішера (ставку перетину) r*, за якої обидва проєкти мають однакову NPV, у відсотках.

A: −10 000, 6 000, 4 000, 2 500B: −12 000, 4 000, 5 500, 6 000

r* = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 18,97 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,175/12 = 0,01458

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,01458)¹² − 1 = 1,19 − 1 = 18,97%

Відповідь

EAR = 18,97%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 233352 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,054000000000000006/12 = 0,0045

N = 12·21 = 252

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 500·(3,1 − 1)/0,0045 = €233 351,94

Відповідь

FV = €233 351,94

Самі ви внесли €126 000; решта — відсотки.

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: ΔP = −70,6 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна за старої дохідності

C = €40,00, i = 0,06, N = 12

€40,00·(1 − 0,497)/0,06 + €1 000·0,497 = €335,35 + €496,97 = €832,32

Ціна за нової дохідності

C = €40,00, i = 0,07, N = 12

€40,00·(1 − 0,444)/0,07 + €1 000·0,444 = €317,71 + €444,01 = €761,72

Зміна

ΔP = 761,72 − 832,32 = −€70,60

Відповідь

ΔP = −€70,60

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 5,018 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 80/1,07 = 74,77, t·PV = 74,77

t = 2: 80/1,145 = 69,88, t·PV = 139,75

t = 3: 80/1,225 = 65,30, t·PV = 195,91

t = 4: 80/1,311 = 61,03, t·PV = 244,13

t = 5: 80/1,403 = 57,04, t·PV = 285,19

t = 6: 1080/1,501 = 719,65, t·PV = 4 317,90

Дюрація

P = 1 047,67

D = 5 257,65/1 047,67 = 5,018

Відповідь

D = 5,018 роки

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,344 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €5 000 000, E/V = 0,4, D/V = 0,6

WACC

WACC = 0,4·11% + 0,6·4,5%·(1 − 0,28) = 6,344%

Відповідь

WACC = 6,344%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,999 %

Ринкові вартості

E = 4 000 000·€49,50 = €198 000 000

D = 20 000·€1 050 = €21 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3,5% + 0,9·5,5% = 8,45%

Ваги

V = €219 000 000, E/V = 0,9041, D/V = 0,09589

WACC

WACC = 0,9041·8,45% + 0,09589·5%·(1 − 0,25) = 7,999%

Відповідь

WACC = 7,999%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 1040 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −20 000

CF₁/(1 + 0,09)¹ = 5 000/1,09 = 4 587,16

CF₂/(1 + 0,09)² = 8 000/1,188 = 6 733,44

CF₃/(1 + 0,09)³ = 8 000/1,295 = 6 177,47

CF₄/(1 + 0,09)⁴ = 5 000/1,412 = 3 542,13

Додайте

NPV = €1 040,19

Відповідь

NPV = €1 040,19

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: r* = 10,67 %

Ставка перетину (точка Фішера): ставка дисконтування, за якої два проєкти мають однакову NPV. Це IRR різниці їхніх грошових потоків (B − A). Нижче від неї вищу NPV має проєкт із пізнішими й більшими грошовими потоками; вище від неї виграє інший.

Різниця грошових потоків

ΔCF₀ = −12 000 − (−10 000) = −2 000

ΔCF₁ = 4 000 − 6 000 = −2 000

ΔCF₂ = 5 500 − 4 000 = 1 500

ΔCF₃ = 6 000 − 2 500 = 3 500

IRR різниці

NPV_Δ(10%) = 51,09

NPV_Δ(11%) = −25,20

r* = 10,67%

Відповідь

r* = 10,67%

Перевірка: при 10,67% обидві NPV дорівнюють €532,49.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation