Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €5 000 наприкінці кожного року протягом 18 років. Процентна ставка 3 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €5 000i = 3%n = 18

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €50 наприкінці кожного місяця протягом 16 років. Рахунок дає 7,2 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €507,2% / 12N = 192

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Ви купуєте облігацію з 5 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 4,5%), коли її дохідність до погашення становить 5,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 6,5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.

F = €1 000купон = 4,5%n = 5y₀ = 5,5%y₁ = 6,5%

HPR = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 7% двома піврічними платежами й погашається через 4 років. Вона продається за €1 035. Знайдіть її дохідність до погашення YTM як річну ставку (подвоєну піврічну дохідність) у відсотках.

F = €1 000купон = 7% (2×)n = 4P = €1 035

YTM = %

5.CAPM і WACCСередня

У компанії власний капітал вартістю €4 000 000 і борг вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу — 14%, вартість позикового капіталу до оподаткування — 3,5%, ставка податку — 25%. Знайдіть WACC.

E = €4 000 000D = €3 000 000r_e = 14%r_d = 3,5%T = 25%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 000 000 акцій по €20,50 за штуку та 10 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 21%. Бета акції — 0,9, безризикова ставка — 2%, ринкова дохідність — 9%. Знайдіть WACC.

β = 0,9r_f = 2%r_m = 9%r_d = 7%T = 21%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €30 000 і приносить €10 500 наприкінці кожного року протягом 4 років. Вартість капіталу — 12 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 12%CF₀ = −30 000CF₁ = 10 500CF₂ = 10 500CF₃ = 10 500CF₄ = 10 500

DPB = роки

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €40 000 і приносить €16 000, €18 000, €24 000 наприкінці років з 1 по 3. Грошові потоки можна реінвестувати за вартістю капіталу 6 %. Знайдіть модифіковану внутрішню норму дохідності MIRR у відсотках.

r = 6%CF₀ = −40 000CF₁ = 16 000CF₂ = 18 000CF₃ = 24 000

MIRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 68768 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5874)/0,03 = 13,75

Теперішня вартість

PV = 5 000·13,75 = €68 767,57

Відповідь

PV = €68 767,57

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 17947 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,07200000000000001/12 = 0,006

N = 12·16 = 192

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 50·(3,154 − 1)/0,006 = €17 947,01

Відповідь

FV = €17 947,01

Самі ви внесли €9 600; решта — відсотки.

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: HPR = 2,004 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна купівлі

C = €45,00, i = 0,055, N = 5

€45,00·(1 − 0,7651)/0,055 + €1 000·0,7651 = €192,16 + €765,13 = €957,30

Ціна продажу

C = €45,00, i = 0,065, N = 4

€45,00·(1 − 0,7773)/0,065 + €1 000·0,7773 = €154,16 + €777,32 = €931,48

Дохідність за період володіння

HPR = (45 + 931,48 − 957,30)/957,30 = 2,004%

Відповідь

HPR = 2,004%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTM = 6,003 %

За період

C = €35,00, N = 8

Чисельний розв’язок

i = 3,001% за півроку

YTM

YTM = 2·3,001% = 6,003%

Відповідь

YTM = 6,003%

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 9,125 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €7 000 000, E/V = 0,5714, D/V = 0,4286

WACC

WACC = 0,5714·14% + 0,4286·3,5%·(1 − 0,25) = 9,125%

Відповідь

WACC = 9,125%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 7,757 %

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€20,50 = €41 000 000

D = 10 000·€1 000 = €10 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 0,9·7% = 8,3%

Ваги

V = €51 000 000, E/V = 0,8039, D/V = 0,1961

WACC

WACC = 0,8039·8,3% + 0,1961·7%·(1 − 0,21) = 7,757%

Відповідь

WACC = 7,757%

7.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 3,716 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 10 500/1,12 = 9 375,00 → Σ = 9 375,00

рік 2: 10 500/1,254 = 8 370,54 → Σ = 17 745,54

рік 3: 10 500/1,405 = 7 473,69 → Σ = 25 219,23

рік 4: 10 500/1,574 = 6 672,94 → Σ = 31 892,17

Частка останнього року

DPB = 3 + 4 780,77/6 672,94 = 3,716

Відповідь

DPB = 3,716 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (2,857 років).

8.NPV і IRR

Відповідь: MIRR = 15,14 %

Модифікована IRR: нарощуйте кожне надходження вперед до кінця проєкту за ставкою реінвестування (зазвичай вартістю капіталу), щоб отримати кінцеву вартість TV. MIRR — це ставка, що перетворює початкові інвестиції на TV: MIRR = (TV/C₀)^(1/n) − 1.

Кінцева вартість надходжень

16 000·1,06² = 17 977,60

18 000·1,06¹ = 19 080,00

24 000·1,06⁰ = 24 000,00

TV = 61 057,60

MIRR

MIRR = (61 057,60/40 000)^1/3 − 1 = 15,14%

Відповідь

MIRR = 15,14%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation