Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €1 500 наприкінці кожного року протягом 15 років. Процентна ставка 4 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €1 500i = 4%n = 15

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви відкладаєте €300 наприкінці кожного місяця протягом 10 років. Рахунок дає 4,8 % річних із щомісячною капіталізацією. Скільки ви накопичите наприкінці? Знайдіть FV.

A = €3004,8% / 12N = 120

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Ви купуєте облігацію з 3 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 6%), коли її дохідність до погашення становить 3,5%. Через рік, одразу після отримання першого купона, ви продаєте її, коли дохідність до погашення становить 5%. Знайдіть дохідність за період володіння HPR у відсотках.

F = €1 000купон = 6%n = 3y₀ = 3,5%y₁ = 5%

HPR = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 070 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 6 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 150 базисних пунктів.

P₀ = €1 070y = 7%D = 6Δy = +150 bp

P = €

5.CAPM і WACCСередня

Компанію профінансовано звичайними акціями вартістю €12 000 000, привілейованими акціями вартістю €1 500 000 і боргом вартістю €3 000 000. Вартість власного капіталу 13%, вартість привілейованого капіталу 6%, вартість боргу до оподаткування 3%. Ставка податку 28%. Знайдіть WACC.

E = €12 000 000P_s = €1 500 000D = €3 000 000r_e = 13%r_p = 6%r_d = 3%T = 28%

WACC = %

6.CAPM і WACCСкладна

Бізнес компанії має бету без урахування боргу (бету активів) 0,6. Компанія планує співвідношення боргу та власного капіталу 0,6. Ставка податку 30%, безризикова ставка 2%, ринкова премія за ризик 6%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e за нової структури капіталу.

β_U = 0,6D/E = 0,6T = 30%r_f = 2%r_m − r_f = 6%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €500 000. Він приносить €39 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 3 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €500 000CF₁ = €39 000g = 3%r = 10%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €150 000. Його грошовий потік становить €36 000 наприкінці року 1 і зростає на 4 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 5. Вартість капіталу — 10 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €150 000CF₁ = €36 000g = 4%n = 5r = 10%

NPV = €

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 16678 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,5553)/0,04 = 11,12

Теперішня вартість

PV = 1 500·11,12 = €16 677,58

Відповідь

PV = €16 677,58

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 46090 €

Місячна ставка і кількість внесків

i = 0,048/12 = 0,004

N = 12·10 = 120

Майбутня вартість внесків

FV = A·((1 + i)^N − 1)/i = 300·(1,615 − 1)/0,004 = €46 089,59

Відповідь

FV = €46 089,59

Самі ви внесли €36 000; решта — відсотки.

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: HPR = 0,7993 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Ціна купівлі

C = €60,00, i = 0,035, N = 3

€60,00·(1 − 0,9019)/0,035 + €1 000·0,9019 = €168,10 + €901,94 = €1 070,04

Ціна продажу

C = €60,00, i = 0,05, N = 2

€60,00·(1 − 0,907)/0,05 + €1 000·0,907 = €111,56 + €907,03 = €1 018,59

Дохідність за період володіння

HPR = (60 + 1 018,59 − 1 070,04)/1 070,04 = 0,7993%

Відповідь

HPR = 0,7993%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 980 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 6/1,07 = 5,607

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −5,607·(0,015) = −8,411%

P ≈ 1070·(1 − 0,08411) = €980,00

Відповідь

P = €980,00

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

5.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 10,39 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = 12 000 000 + 1 500 000 + 3 000 000 = €16 500 000

E/V = 0,7273, P_s/V = 0,09091, D/V = 0,1818

WACC

WACC = 0,7273·13% + 0,09091·6% + 0,1818·3%·(1 − 0,28) = 10,39%

Відповідь

WACC = 10,39%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 7,112 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Бета з урахуванням боргу

β_L = 0,6·(1 + 0,7·0,6) = 0,852

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 2% + 0,852·6% = 7,112%

Відповідь

r_e = 7,112%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 57143 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 39 000/(0,1 − 0,03) = 557 142,86

NPV

NPV = 557 142,86 − 500 000 = €57 142,86

Відповідь

NPV = €57 142,86

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −3267 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,04)/(1,1))⁵ = 0,7554

PV = 36 000/(0,1 − 0,04)·(1 − 0,7554) = 146 732,56

NPV

NPV = 146 732,56 − 150 000 = −€3 267,44

Відповідь

NPV = −€3 267,44

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation