Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Кредитна картка нараховує номінальну ставку 21 % річних із капіталізацією щоденно. Знайдіть ефективну річну ставку EAR у відсотках.

r = 21%m = 365

EAR = %

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 16 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 5 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 16? Знайдіть FV.

A = €6 000i = 5%n = 16

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 7%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 7 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 7%YTM = 9%n = 7

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €990 з дохідністю до погашення 5% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 4,6 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність знизиться на 150 базисних пунктів.

P₀ = €990y = 5%D = 4,6Δy = −150 bp

P = €

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 1,4 має необхідну дохідність 8,3%. Безризикова ставка 2%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 1,4r_e = 8,3%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

Акції компанії мають бету 1,4 за поточного співвідношення боргу та власного капіталу 0,2. Компанія планує підвищити це співвідношення до 1,25. Ставка податку 25%, безризикова ставка 3,5%, ринкова премія за ризик 5%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e після зміни.

β_L = 1,4D/E₁ = 0,2D/E₂ = 1,25T = 25%r_f = 3,5%r_m − r_f = 5%

r_e = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €200 000. Він приносить €13 000 наприкінці першого року, а далі грошовий потік зростає на 1 % на рік безстроково. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €13 000g = 1%r = 8%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €200 000. Його грошовий потік становить €22 500 наприкінці року 1 і зростає на 3 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 8. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €200 000CF₁ = €22 500g = 3%n = 8r = 8%

NPV = €

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: EAR = 23,36 %

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка за період

r/m = 0,21/365 = 0,0005753

Нарощення за один рік

EAR = (1 + 0,0005753)³⁶⁵ − 1 = 1,234 − 1 = 23,36%

Відповідь

EAR = 23,36%

Ефективна річна ставка завжди вища за номінальну, коли відсотки капіталізуються частіше ніж раз на рік.

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 149042 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,05)¹⁶ − 1)/0,05 = 23,66

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 6 000·23,66·1,05 = €149 042,20

Відповідь

FV = €149 042,20

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 897,8 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €35,00, i = 0,045, N = 14

Теперішня вартість купонів

€35,00·(1 − 0,54)/0,045 = €357,80

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,54 = €539,97

Ціна

P = €897,77

Відповідь

P = €897,77

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1055 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 4,6/1,05 = 4,381

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −4,381·(−0,015) = 6,571%

P ≈ 990·(1 + 0,06571) = €1 055,06

Відповідь

P = €1 055,06

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 6,5 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (8,3% − 2%)/1,4 = 4,5%

Ринкова дохідність

r_m = 2% + 4,5% = 6,5%

Відповідь

r_m = 6,5%

6.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 15,29 %

Бета з урахуванням боргу (Хамада): борг робить власний капітал ризикованішим. β_L = β_U·(1 + (1 − T)·D/E), де β_U — бета бізнесу без боргу. Щоб перенести бету на іншу структуру капіталу, спочатку звільніть її від впливу боргу, а потім перерахуйте за новим D/E.

Звільніть бету від впливу боргу

β_U = 1,4/(1 + 0,75·0,2) = 1,217

Перерахуйте за новим D/E

β_L = 1,217·(1 + 0,75·1,25) = 2,359

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3,5% + 2,359·5% = 15,29%

Відповідь

r_e = 15,29%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −14286 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Вартість грошових потоків

PV = 13 000/(0,08 − 0,01) = 185 714,29

NPV

NPV = 185 714,29 − 200 000 = −€14 285,71

Відповідь

NPV = −€14 285,71

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −57978 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,03)/(1,08))⁸ = 0,6844

PV = 22 500/(0,08 − 0,03)·(1 − 0,6844) = 142 021,59

NPV

NPV = 142 021,59 − 200 000 = −€57 978,41

Відповідь

NPV = −€57 978,41

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation