Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Очікується, що нерухомість наступного року принесе чистий орендний дохід €12 000. Очікується, що дохід зростатиме на 1 % на рік безстроково. Необхідна дохідність 5 % річних. Знайдіть вартість PV нерухомості сьогодні.

C₁ = €12 000g = 1%r = 5%

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви позичаєте €15 000 під 3,6 % річних зі щомісячною капіталізацією і наприкінці кожного місяця сплачуєте €200. Скільки місяців знадобиться, щоб погасити кредит (останній платіж може бути меншим)? Вкажіть кількість платежів N.

P = €15 000A = €2003,6% / 12

N = платежів

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 4%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 5 років. Дохідність до погашення — 9% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 4%YTM = 9%n = 5

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з 16 роками до погашення (номінал €1 000, річний купон 9%) продається за €1 089. Емітент може достроково викупити її через 5 років за ціною викупу €1 090. Знайдіть дохідність до дострокового викупу YTC у відсотках.

F = €1 000купон = 9%P = €1 089ціна викупу = €1 090дострокове погашення через 5 роки

YTC = %

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 1,25 має необхідну дохідність 6,63%. Безризикова ставка 1%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 1,25r_e = 6,63%r_f = 1%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має 2 000 000 акцій, що торгуються за €38,00; балансова вартість її власного капіталу €22 800 000. Вона щойно виплатила дивіденд €2,10 на акцію, і дивіденди зростають на 5% на рік. Її борг має ринкову вартість €38 000 000 і вартість до оподаткування 4%. Ставка податку 30%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 2 000 000P₀ = €38,00балансовий власний капітал = €22 800 000D₀ = €2,10g = 5%D = €38 000 000r_d = 4%T = 30%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Інвестиція €60 000 дає наприкінці років з 1 по 4 такі грошові потоки: €15 000, €14 000, €26 000, €20 000. Вартість капіталу — 12 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

r = 12%CF₀ = −60 000CF₁ = 15 000CF₂ = 14 000CF₃ = 26 000CF₄ = 20 000

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €50 000 і приносить €28 000, €33 500 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −50 000CF₁ = 28 000CF₂ = 33 500

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 300000 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Безстрокова рента, що зростає

PV = C₁/(r − g) = 12 000/(0,05 − 0,01) = 12 000/0,04 = €300 000,00

Відповідь

PV = €300 000,00

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: N = 86 платежів

Перетворіть формулу ануїтету

i = 0,003

(1 + i)^−N = 1 − 15 000·0,003/200 = 0,775

Розв’язання за допомогою логарифмів

N = −ln(0,775)/ln(1,003) = 85,09

Округлення вгору до повних платежів

Після 85 повних платежів залишається невеликий борг, який погашає останній, менший платіж.

N = 86

Відповідь

N = 86 платежів

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 802,2 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €20,00, i = 0,045, N = 10

Теперішня вартість купонів

€20,00·(1 − 0,6439)/0,045 = €158,25

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,6439 = €643,93

Ціна

P = €802,18

Відповідь

P = €802,18

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: YTC = 8,28 %

Рівняння для дохідності

1089 = 90·(1 − (1 + y)⁻⁵)/y + 1090/(1 + y)⁵

Чисельний розв’язок

y = 8%: €1 101,18

y = 9%: €1 058,49

YTC = 8,28%

Відповідь

YTC = 8,28%

Дохідність до погашення 7,995%. Інвестори в облігацію з премією очікують, що її буде достроково викуплено, тож нижча дохідність до викупу реалістичніша.

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 5,504 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (6,63% − 1%)/1,25 = 4,504%

Ринкова дохідність

r_m = 1% + 4,504% = 5,504%

Відповідь

r_m = 5,504%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 8,135 %

Вартість власного капіталу

D₁ = 2,1·1,05 = €2,21

r_e = 2,205/38 + 0,05 = 10,8%

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€38,00 = €76 000 000

V = €114 000 000, E/V = 0,6667, D/V = 0,3333

WACC

WACC = 0,6667·10,8% + 0,3333·4%·(1 − 0,3) = 8,135%

Відповідь

WACC = 8,135%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = −4230 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість кожного потоку

CF₀ = −60 000

CF₁/(1 + 0,12)¹ = 15 000/1,12 = 13 392,86

CF₂/(1 + 0,12)² = 14 000/1,254 = 11 160,71

CF₃/(1 + 0,12)³ = 26 000/1,405 = 18 506,29

CF₄/(1 + 0,12)⁴ = 20 000/1,574 = 12 710,36

Додайте

NPV = €−4 229,78

Відповідь

NPV = €−4 229,78

NPV від'ємна, тож проєкт заробляє менше за необхідну дохідність.

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 14,51 %

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(10%) = 3 140,50

NPV(15%) = −321,36

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 10 + 5·3 140,50/(3 140,50 − (−321,36)) = 14,54%

точно: NPV(14,51%) = 0 → IRR = 14,51%

Відповідь

IRR = 14,51%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation