Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Ануїтет виплачує €5 000 наприкінці кожного року протягом 17 років. Процентна ставка 7 % річних. Знайдіть теперішню вартість PV ануїтету.

A = €5 000i = 7%n = 17

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Іпотечний кредит €200 000 погашають однаковими щомісячними платежами протягом 30 років під 7,2 % річних зі щомісячною капіталізацією. Скільки ще залишається винним одразу після платежу наприкінці року 8? Знайдіть залишок боргу B.

P = €200 0007,2% / 12N = 360k = 96

B = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація з номіналом €1 000 погашається через 10 років і виплачує річні купони. Вона продається за €551, коли дохідність до погашення становить 9%. Знайдіть купонну ставку c у відсотках.

F = €1 000n = 10P = €551YTM = 9%

c = %

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація з номіналом €1 000 виплачує річний купон 2% і погашається через 5 років. Дохідність до погашення 9%. Знайдіть дюрацію Маколея D у роках.

F = €1 000купон = 2%n = 5YTM = 9%

D = роки

5.CAPM і WACCСередня

Акція з бетою 2 має необхідну дохідність 10%. Безризикова ставка 2%. Яку очікувану ринкову дохідність r_m передбачає CAPM?

β = 2r_e = 10%r_f = 2%

r_m = %

6.CAPM і WACCСкладна

Компанія має 5 000 000 акцій, що торгуються за €42,50; балансова вартість її власного капіталу €106 300 000. Вона щойно виплатила дивіденд €1,00 на акцію, і дивіденди зростають на 4% на рік. Її борг має ринкову вартість €212 500 000 і вартість до оподаткування 4,5%. Ставка податку 20%. Знайдіть WACC, обчисливши вартість власного капіталу за моделлю зростання дивідендів.

N = 5 000 000P₀ = €42,50балансовий власний капітал = €106 300 000D₀ = €1,00g = 4%D = €212 500 000r_d = 4,5%T = 20%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Проєкт коштує сьогодні €50 000 і приносить €12 500 наприкінці кожного року протягом 5 років. Вартість капіталу — 5 %. Вважайте, що грошові потоки надходять рівномірно протягом кожного року. Знайдіть дисконтований строк окупності DPB у роках.

r = 5%CF₀ = −50 000CF₁ = 12 500CF₂ = 12 500CF₃ = 12 500CF₄ = 12 500CF₅ = 12 500

DPB = роки

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує €20 000 і приносить €14 000, €14 000 наприкінці років з 1 по 2. Знайдіть його внутрішню норму дохідності IRR у відсотках.

CF₀ = −20 000CF₁ = 14 000CF₂ = 14 000

IRR = %

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 48816 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Коефіцієнт ануїтету

(1 − (1 + i)⁻ⁿ)/i = (1 − 0,3166)/0,07 = 9,763

Теперішня вартість

PV = 5 000·9,763 = €48 816,11

Відповідь

PV = €48 816,11

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: B = 179624 €

Щомісячний платіж

i = 0,006, N = 360

A = 200 000·0,006/(1 − (1 + 0,006)⁻³⁶⁰) = €1 357,58

Теперішня вартість решти платежів

Усе, що ще належить сплатити, має бути точно погашене рештою платежів.

N − k = 360 − 96 = 264

B = 1358·(1 − (1 + 0,006)⁻²⁶⁴)/0,006 = €179 624,07

Відповідь

B = €179 624,07

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: c = 2,004 %

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

Теперішня вартість номіналу

1000·(1 + 0,09)⁻¹⁰ = €422,41

Купон

C = (551 − 422,41)/6,418 = €20,04

Купонна ставка

c = 20,04/1000 = 2,004%

Відповідь

c = 2,004%

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: D = 4,768 роки

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Теперішня вартість кожного потоку

t = 1: 20/1,09 = 18,35, t·PV = 18,35

t = 2: 20/1,188 = 16,83, t·PV = 33,67

t = 3: 20/1,295 = 15,44, t·PV = 46,33

t = 4: 20/1,412 = 14,17, t·PV = 56,67

t = 5: 1020/1,539 = 662,93, t·PV = 3 314,65

Дюрація

P = 727,72

D = 3 469,67/727,72 = 4,768

Відповідь

D = 4,768 роки

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_m = 6 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ринкова премія за ризик

r_m − r_f = (10% − 2%)/2 = 4%

Ринкова дохідність

r_m = 2% + 4% = 6%

Відповідь

r_m = 6%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 5,024 %

Вартість власного капіталу

D₁ = 1·1,04 = €1,04

r_e = 1,04/42,5 + 0,04 = 6,447%

Ринкові вартості

E = 5 000 000·€42,50 = €212 500 000

V = €425 000 000, E/V = 0,5, D/V = 0,5

WACC

WACC = 0,5·6,447% + 0,5·4,5%·(1 − 0,2) = 5,024%

Відповідь

WACC = 5,024%

7.NPV і IRR

Відповідь: DPB = 4,579 роки

Строк окупності: час, за який накопичені грошові потоки повертають початкові інвестиції. Вважається, що гроші надходять рівномірно протягом кожного року, тож остання частина — дріб року. Простий строк окупності не враховує вартості грошей у часі; дисконтований строк окупності використовує натомість дисконтовані грошові потоки.

Дисконтовані й накопичені грошові потоки

рік 1: 12 500/1,05 = 11 904,76 → Σ = 11 904,76

рік 2: 12 500/1,103 = 11 337,87 → Σ = 23 242,63

рік 3: 12 500/1,158 = 10 797,97 → Σ = 34 040,60

рік 4: 12 500/1,216 = 10 283,78 → Σ = 44 324,38

рік 5: 12 500/1,276 = 9 794,08 → Σ = 54 118,46

Частка останнього року

DPB = 4 + 5 675,62/9 794,08 = 4,579

Відповідь

DPB = 4,579 роки

Дисконтований строк окупності завжди довший за простий (4 років).

8.NPV і IRR

Відповідь: IRR = 25,69 %

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Обмежте IRR з обох боків

NPV зменшується зі зростанням ставки, тож IRR лежить між ставкою з додатною і ставкою з від'ємною NPV.

NPV(25%) = 160,00

NPV(30%) = −946,75

Звужуйте

Лінійна інтерполяція дає першу оцінку; її повторення (або функція IRR калькулятора) дає точну ставку.

IRR ≈ 25 + 5·160,00/(160,00 − (−946,75)) = 25,72%

точно: NPV(25,69%) = 0 → IRR = 25,69%

Відповідь

IRR = 25,69%

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation