Інвестиції та оцінка вартості: шпаргалка-підсумок

Аркуші з формулами, ключові кроки методів для кожної теми та 8 задач для практики, з повними розв’язками наприкінці.

Нові задачі Назад до курсу

У вікні друку виберіть «Зберегти як PDF», щоб зберегти копію на пристрої.

1Формули та методи

Вартість грошей у часі

Майбутня вартість: FV = PV·(1 + i)ⁿ
Теперішня вартість: PV = FV/(1 + i)ⁿ
Кілька періодів на рік: i = r/m, N = m·n
Ануїтет, теперішня вартість: PV = PMT·[1 − (1 + i)⁻ⁿ]/i
Ануїтет, майбутня вартість: FV = PMT·[(1 + i)ⁿ − 1]/i

Метод

Накресліть часову шкалу з кожним грошовим потоком і його моментом.
Узгодьте ставку з періодом: місячна ставка для щомісячних платежів.
Використовуйте FV = PV·(1 + i)ⁿ для одноразових сум і формули ануїтету для однакових платежів.
Перевірте знак і порядок величини відповіді.

Ціна й дохідність облігацій

Ціна облігації: P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ
Піврічні купони: C/2, y/2 і 2n періодів
Поточна дохідність: C/P
Ціна й дохідність: дохідність зростає → ціна падає

Метод

Знайдіть купон за період і дохідність за період.
Ціна = теперішня вартість купонів (ануїтет) + теперішня вартість номіналу.
Для піврічних купонів беріть половину купона, половину дохідності й удвічі більше періодів.
Перевірка: якщо дохідність вища за купонну ставку, ціна нижча за номінал.

CAPM і WACC

CAPM: r_e = r_f + β·(r_m − r_f)
WACC: E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T)
Вартість компанії: V = E + D

NPV і IRR

Чиста теперішня вартість: NPV = −C₀ + Σ CF_t/(1 + r)^t
Рівні грошові потоки: NPV = −C₀ + CF·[1 − (1 + r)⁻ⁿ]/r
Внутрішня норма дохідності: r, за якої NPV = 0
Рішення: приймати, якщо NPV > 0 (або IRR > необхідної дохідності)

Метод

Випишіть усі грошові потоки з роками; інвестиція в році 0 від’ємна.
Дисконтуйте кожен грошовий потік: CF_t/(1 + r)^t.
Додайте їх, щоб отримати NPV. Додатне значення означає, що проєкт заробляє більше за r.
Для IRR знайдіть ставку, за якої NPV дорівнює нулю, підбором або інтерполяцією.

2Задачі для практики

1.Вартість грошей у часіСередня

Через 3 років вам потрібно €40 000. Рахунок дає 5 % річних із капіталізацією щоквартальною. Скільки треба покласти сьогодні? Знайдіть теперішню вартість PV.

FV = €40 0005% / 4n = 3

PV = €

2.Вартість грошей у часіСкладна

Ви вносите €6 000 на початку кожного року протягом 30 років, перший внесок сьогодні. Рахунок дає 5 % річних. Скільки буде на рахунку наприкінці року 30? Знайдіть FV.

A = €6 000i = 5%n = 30

FV = €

3.Ціна й дохідність облігаційСередня

Облігація номіналом €1 000 приносить річний купон 6%, що виплачується двома піврічними платежами; строк до погашення — 3 років. Дохідність до погашення — 7% річних. Знайдіть ціну облігації P.

F = €1 000купон = 6%YTM = 7%n = 3

P = €

4.Ціна й дохідність облігаційСкладна

Облігація торгується за €1 090 з дохідністю до погашення 7% (щорічна капіталізація) і дюрацією Маколея 7,8 років. За допомогою модифікованої дюрації оцініть нову ціну P, якщо дохідність зросте на 100 базисних пунктів.

P₀ = €1 090y = 7%D = 7,8Δy = +100 bp

P = €

5.CAPM і WACCСередня

Компанія має власний капітал вартістю €3 000 000 і борг вартістю €5 000 000. Її WACC 7,13%, вартість боргу до оподаткування 6%, а ставка податку 20%. Знайдіть вартість власного капіталу r_e.

E = €3 000 000D = €5 000 000WACC = 7,13%r_d = 6%T = 20%

r_e = %

6.CAPM і WACCСкладна

У компанії 2 000 000 акцій по €50,00 за штуку та 5 000 облігацій ринковою вартістю €1 000 кожна. Вартість позикового капіталу до оподаткування — 7%, ставка податку — 30%. Бета акції — 0,6, безризикова ставка — 3%, ринкова дохідність — 9,5%. Знайдіть WACC.

β = 0,6r_f = 3%r_m = 9,5%r_d = 7%T = 30%

WACC = %

7.NPV і IRRСередня

Верстат коштує сьогодні €50 000. Він приносить €13 500 наприкінці кожного року протягом 4 років, а потім його можна продати за €7 500. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €50 000CF = €13 500S = €7 500n = 4r = 8%

NPV = €

8.NPV і IRRСкладна

Проєкт коштує сьогодні €100 000. Його грошовий потік становить €20 000 наприкінці року 1 і зростає на 5 % на рік до останнього грошового потоку наприкінці року 6. Вартість капіталу — 8 %. Знайдіть чисту теперішню вартість NPV.

C₀ = €100 000CF₁ = €20 000g = 5%n = 6r = 8%

NPV = €

3Розчини

1.Вартість грошей у часі

Відповідь: PV = 34460 €

Вартість грошей у часі: гроші сьогодні цінніші за ту саму суму пізніше, бо можуть приносити відсотки. За ставки i за період сума зростає як FV = PV·(1 + i)ⁿ. Ряд однакових платежів (ануїтет) оцінюють, додаючи кожен платіж, звідси формули ануїтету.

Ставка і кількість періодів

i = 0,05/4 = 0,0125

N = 4·3 = 12

Теперішня вартість

PV = FV/(1 + i)^N = 40 000/1,161 = €34 460,34

Відповідь

PV = €34 460,34

2.Вартість грошей у часі

Відповідь: FV = 418565 €

Коефіцієнт звичайного ануїтету

((1 + 0,05)³⁰ − 1)/0,05 = 66,44

Пренумерандо-ануїтет

Кожен внесок інвестовано на один рік довше.

FV = 6 000·66,44·1,05 = €418 564,74

Відповідь

FV = €418 564,74

3.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 973,4 €

Ціна облігації: ціна облігації — це теперішня вартість її грошових потоків, дисконтованих за дохідністю до погашення (YTM): купони утворюють ануїтет, а номінал виплачується під час погашення. P = C·(1 − (1 + y)⁻ⁿ)/y + F/(1 + y)ⁿ. Якщо дохідність вища за купонну ставку, облігація торгується нижче номіналу, і навпаки.

За період

C = €30,00, i = 0,035, N = 6

Теперішня вартість купонів

€30,00·(1 − 0,8135)/0,035 = €159,86

Теперішня вартість номіналу

€1 000·0,8135 = €813,50

Ціна

P = €973,36

Відповідь

P = €973,36

Дохідність вища за купонну ставку, тож облігація продається з дисконтом.

4.Ціна й дохідність облігацій

Відповідь: P = 1011 €

Дюрація: дюрація Маколея — це середньозважений час, коли облігація виплачує свої грошові потоки, з теперішніми вартостями грошових потоків як вагами: D = Σ t·PVₜ/P. Модифікована дюрація D/(1 + y) оцінює відсоткову зміну ціни за невеликої зміни дохідності: %ΔP ≈ −D_mod·Δy.

Модифікована дюрація

D_mod = 7,8/1,07 = 7,29

Оцінена зміна ціни

%ΔP ≈ −7,29·(0,01) = −7,29%

P ≈ 1090·(1 − 0,0729) = €1 010,54

Відповідь

P = €1 010,54

Дюрація — лінійна оцінка; за великих змін дохідності опуклість робить дійсну ціну трохи вищою.

5.CAPM і WACC

Відповідь: r_e = 11,01 %

Вартість капіталу: CAPM дає дохідність, якої вимагають акціонери: r_e = r_f + β·(r_m − r_f). Середньозважена вартість капіталу поєднує власний і позиковий капітал із вагами за їхньою ринковою вартістю: WACC = E/V·r_e + D/V·r_d·(1 − T), де V = E + D. Відсотки зменшують оподатковуваний прибуток, звідси множник (1 − T).

Ваги

V = €8 000 000, E/V = 0,375, D/V = 0,625

Частка боргу у WACC

0,625·6%·(1 − 0,2) = 3%

Вартість власного капіталу

r_e = (7,13% − 3%)/0,375 = 11,01%

Відповідь

r_e = 11,01%

6.CAPM і WACC

Відповідь: WACC = 6,805 %

Ринкові вартості

E = 2 000 000·€50,00 = €100 000 000

D = 5 000·€1 000 = €5 000 000

Вартість власного капіталу (CAPM)

r_e = 3% + 0,6·6,5% = 6,9%

Ваги

V = €105 000 000, E/V = 0,9524, D/V = 0,04762

WACC

WACC = 0,9524·6,9% + 0,04762·7%·(1 − 0,3) = 6,805%

Відповідь

WACC = 6,805%

7.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 226,4 €

Чиста теперішня вартість: дисконтуйте кожен грошовий потік до сьогодні за необхідною ставкою дохідності r і додайте: NPV = Σ CFₜ/(1 + r)ᵗ. Проєкт із NPV > 0 заробляє більше за r і створює вартість. Внутрішня норма дохідності (IRR) — це ставка, за якої NPV = 0.

Теперішня вартість щорічних грошових потоків

13 500·3,312 = 44 713,71

Теперішня вартість ліквідаційної вартості

7 500/1,36 = 5 512,72

NPV

NPV = −50 000 + 44 713,71 + 5 512,72 = €226,44

Відповідь

NPV = €226,44

8.NPV і IRR

Відповідь: NPV = 3675 €

Теперішня вартість ануїтету, що зростає

((1,05)/(1,08))⁶ = 0,8445

PV = 20 000/(0,08 − 0,05)·(1 − 0,8445) = 103 674,95

NPV

NPV = 103 674,95 − 100 000 = €3 674,95

Відповідь

NPV = €3 674,95

NPV додатна, тож проєкт заробляє більше за необхідну дохідність.

ExamProblems · examproblems.com/courses/investments-and-valuation